Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Ali-H]

Exercice 6 (?)

Soit $ p \in \mathbb{R} $
Déterminer les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation suivante : $ (z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 $

J'ose espérer que cet exo passera la censure, car même si je ne suis plus tout à fait à jour sur le programme de terminale, il me semble que les notions nécessaires sont au progrramme.

Cela m'a paru rapide à faire donc j'essaye ^^

SPOILER:

$ (z-i)^4 + p^2[(z-i)(z+i)]^2 = 0 $
$ (z-i)^4 + p^2(z-i)^2(z+i)^2 = 0 $
$ 1 + p^2[(z+i)/(z-i)]^2 = 0 $
$ [(z+i)/(z-i)]^2 = (i/p)^2 $
$ (z+i)/(z-i) = i/p $ (je ne sais pas si j'ai le droit d'enlever les carrés comme ça)
$ pz + pi = zi + 1 $
$ z(p-i) = 1 - pi $
$ z = (1-pi)/(p-i) $

[Errys]

1sala23 :
C'est ça ! Tu peux simplifier beaucoup en utilisant un télescopage (je sais pas si tu as fait le chapitre des sommes sur le PDF de llg) puis avec des manipulations qui sont au programme

[Ali-H]

;

[Zehir]

@Ali-H
Mets tes solutions (même incomplètes) en balise SPOILER pour éviter de spoiler les autres.
Par ailleurs, il faut trouver toutes les solutions

[Chronoxx]

@Ali-H

Ta simplification de la 2ème à la 3ème ligne est un peu délicate.
Il n'y a pas qu'une seule solution

SPOILER:

Il suffit de prendre z = i pour s'en convaincre

[Ali-H]

@Ali-H
Mets tes solutions (même incomplètes) en balise SPOILER pour éviter de spoiler les autres.
Par ailleurs, il faut trouver toutes les solutions

Je viens de mettre en spoiler mais ça ne s'affiche plus :/

[Errys]

@Ali-H
Mets tes solutions (même incomplètes) en balise SPOILER pour éviter de spoiler les autres.
Par ailleurs, il faut trouver toutes les solutions

Je viens de mettre en spoiler mais ça ne s'affiche plus :/

Oui, si tu cites un messages, les spoilers ne fonctionnent pas bien.

[Ali-H]

Je pense avoir trouvé, j'essaie d'écrire ça correctement

[1sala23]

1sala23 :
C'est ça ! Tu peux simplifier beaucoup en utilisant un télescopage (je sais pas si tu as fait le chapitre des sommes sur le PDF de llg) puis avec des manipulations qui sont au programme

Je viens de check, dès que je peux je me pencherai dessus (donc ce soir ou demain matin très probablement )

[Ali-H]

Exercice 6

SPOILER:

$ (z-i)^4 + p^2(z^2+1)^2 = 0 $
$ (z-i)^4 + p^2[(z-i)(z+i)]^2 = 0 $
$ (z-i)^4 + p^2(z-i)^2(z+i)^2 = 0 $
$ (z-i)^2 + p^2(z+i)^2 = 0 $
Posons $ Z = z - i $
$ Z^2 + p^2(Z + 2i)^2 = 0 $
$ Z^2 + p^2Z^2 + 4p^2iZ - 4p^2 = 0 $
$ Z^2(p^2 + 1) + 4p^2iZ - 4p^2 = 0 $
$ Delta = 16p^2 $
Delta > 0 donc deux solutions Z1 et Z2
$ Z1 = (-4p^2i - 4p)/(2p^2 + 2) = (-2p^2i - 2p)/(p^2 + 1) $
$ Z2 = (-4p^2i + 4p)/(2p^2 + 2) = (-2p^2i + 2p)/(p^2 + 1) $
Donc les deux solutions de l'équation sont
$ z1 = (-2p^2i - 2p)/(p^2 + 1) + i $
$ z1 = (-p^2i - 2p + i)/(p^2 + 1) $
et
$ z2 = (-2p^2i + 2p)/(p^2 + 1) + i $
$ z2 = (-p^2i + 2p + i)/(p^2 + 1) $