Exercices de MPSI

[VanXoO]

Je déterre celui-là , il ma bien plu

Un de combinatoire que j'ai beaucoup aimé:

Soit $ \alpha\in [0,\pi] $. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on note $ V_n(\alpha) $ le nombre de changements de signes dans la suite $ 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha) $.
Montrer que $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} $

Lorsque $ \alpha=\pi/k $ ($ k $ entier), ça compte comme un changement de signe les endroits où le cos est nul ? (je suppose que oui mais bon)

[bullquies]

Nope, sinon ca ne marche pas (prendre alpha=pi/2 pour s'en convaincre)

Beau résultat !

[VanXoO]

Nope, sinon ca ne marche pas (prendre alpha=pi/2 pour s'en convaincre)

Beau résultat !

Oui, je veux dire que ça compte une fois et pas 0 (puisqu'on pourrait se dire que de 1 à 0 ça ne change pas de signe, et de 0 à -1 non plus, etc)

[Tornado]

Oui ca se compte une seule fois ^^

[Jay Olsen]

J'aurait utilisé le fait que ln(x) est convexe, est-ce cela ?

Arrêtez avec ces réponses de merde svp ça m'énerve beaucoup.

Si tu ne vois pas que le concept de convexité est identique au concept de concavité, je ne peux plus rien pour toi..

[VanXoO]

Je déterre celui-là , il ma bien plu

Un de combinatoire que j'ai beaucoup aimé:

Soit $ \alpha\in [0,\pi] $. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on note $ V_n(\alpha) $ le nombre de changements de signes dans la suite $ 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha) $.
Montrer que $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} $

SPOILER:

Bon d'abord, il faut traduire ça géométriquement : on se place sur le cercle unité, on part de 0, et on avance de $ \alpha $ en $ \alpha $. $ V_n(\alpha) $ représente alors le nombre de fois qu'on franchit l'axe des ordonnées (puisque que c'est là que le cos change de signe). Pour simplifier, on va dire qu'on part de $ \pi/2 $ plutôt que de 0, comme ça cela revient juste à compter le nombre de demi-tours qu'on fait (ça change $ V_n(\alpha) $ mais évidemment pas sa limite, un quart de tour ne compte pas en $ +\infty $).
Ainsi, on remarque que $ V_n(\alpha) $ est le quotient de la division euclidienne de $ n\alpha $ par $ \pi $ (c'est pas des entiers mais je suppose qu'il y a une généralisation puisque le principe est le même, corrigez moi si je me tormpe): c'est le nombre de multiples de $ \pi $ inférieurs à $ n\alpha $. Ainsi, on écrit
$ n\alpha=V_n(\alpha)\pi +r $, ce qui revient à écrire $ \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} - \frac{r}{n\pi} $.
Comme le dernier terme tend vers 0, on a le résultat voulu.

[Magnéthorax]

Bonjour,

pour tout entier naturel non nul $ n $, on note $ n! $ le produit des entiers consécutifs $ 1,\ldots,n $. Par exemple : $ 3!=1\times 2\times 3=6 $.

1. Soit $ x $ un nombre réel. Etudiez la convergence de la suite $ (\frac{x^n}{n!}) $.

2. Etudiez la convergence de la suite $ (\frac{n!}{n^n}) $.

[MSman]

On dispose d'une boite à sucre au format 10x10x10. Combien de sucres au format 1x2x4 peut-on mettre dans cette boîte ? (sans les casser bien sûr)

Vous n'aimez pas mon exo ?

[MSman]

MSman : Il faut juste diviser le cube en pavés de sorte à ce qu'on ait un minimum d'espaces vides non ?

SPOILER:

Genre on a un pavé de 10x10x8 dans lequel on peut mettre 10*5*2=100 sucres (qui sont "debout", de "dimension" 1x2x4), un pavé de 10x8x2 ou on va mettre10*2*2=40 sucres (les sucres sont "à plat" de "dimension" 1x4x2), un pavé de taille 8x2x2 ou on peut mettre 2*1*2 = 4 sucres (ici ils sont de "dimension" 4x1x2). Il reste enfin un pavé de 2x2x2 ou on ne peut pas mettre de sucres sans les casser.

On peut donc mettre en tout 144 sucres.

Vérification qu'on a pas fait de pavé en trop ou en moins : 10x10x8+10x8x2+8x2x2+2x2x2 = 1000 = 10 x 10 x 10.

SPOILER:

Juste en lisant l'avant dernier ligne je pense qu'il y a un bug (bon il suffit de remplacer le 40 par 20). On a grossièrement un cube de volume 1000 et des sucres de volume 8. Donc on peut placer au maximum $ 125= \dfrac{1000}{8} $ sucres (si c'est optimal).
Donc là tu viens de trouver une configuration où on peut mettre 124 sucres. Mais il faut maintenant prouver qu'il n'existe aucune configuration où on peut en mettre 125.

[MSman]

On dispose d'une boite à sucre au format 10x10x10. Combien de sucres au format 1x2x4 peut-on mettre dans cette boîte ? (sans les casser bien sûr)

SPOILER:

Oui, au lieu "de un pavé de 10x8x2 ou on va mettre10*2*2=40 sucres (les sucres sont "à plat" de "dimension" 1x4x2)" j'aurai du mettre "un pavé de 10x8x2 ou on va mettre10*2*1=20 sucres (les sucres sont "à plat" de "dimension" 1x4x2)" sinon ça n'a aucun sens.

Je pense qu'il faut démontrer qu'on a la solution optimale par l'absurde mais je suis un peu bloqué. Voila ce que j'ai réussi à faire pour l'instant

On va montrer que c'est pas possible de rentrer 125 cubes par l'absurde :
On admet qu'il y a 125 cubes dans la boite et donc qu'elle est pleine Cela veut dire que pour toute unité x,y,z de la boite il y a une partie d'un sucre. On peut orienter un sucre de 3! manières différentes : 1x2x4, 1x4x2, 4x2x1, 4x1x2, 2x4x1 et 2x1x4.

Pour remplir les 10 unités de la boîte dans les trois dimensions il que la somme des morceaux de sucre soit égale à 10. Etant donné qu'on a pas le droit de casser un sucre, un sucre ne peut qu'occuper 1, 2 ou 4 espaces.

Je dirais qu'il faut ensuite poser un système qui n'a pas de solution dans N.
1 x + 2 y + 4 z = 10 ((x,y,z) dans N^3)
...

Un indice ?

SPOILER:

Je te propose 2 indices pour 2 démonstrations possibles :

La première : On peut en fait montrer que si on coupe les sucres en 2 de telle manière que 1x2x4 devienne 2 sucres 1x1x4, on ne peut pas non plus remplir totalement le cube. On adopte alors un "pavage 3D" dont le pavé est de taille 1x1x1 pour le cube, on le peint en 4 couleurs différentes, par exemple, Bleu,Vert,Rouge,Noir (B,V,R,N), de telle manière à ce qu'on ait (faire un dessin) que tout sucre de taille 1x4x4 appartenant au cube utilise les 4 couleurs du pavage. On a donc l'implication : les 250 sucres remplissent le cube $ \Rightarrow $ On a 250 cases bleues (resp vertes, rouges, noires). Trouver une contradiction.

La seconde (celle que je préfère, je reste volontairement flou) : Travailler avec des barycentres (donc des centres de gravité)