Exercices de MPSI

[rabhix98]

J'ai compris merci
Vous pouvez me tutoyer à l'avenir

[mathophilie]

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

[rabhix98]

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

Ca me parait juste mais je ne sais pas si on peut identifier entre un polynôme et une fonction racine. A vérifier

[JeanN]

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

Tu nous présente un bon "brouillon" alors que tu ne devrais présenter que la phase de vérification.
Tu devrais parachuter ton candidat et procéder aux vérifications qui vont bien.

[ladmzjkf]

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

L'exercice suivant n'est pas dur, mais personnellement je le trouve assez sympa :

Soit $ f $ une fonction continue et croissante, $ g $ une fonction continue et décroissante sur le même intervalle $ [0,a] $ tel que on ait $ \int_{0}^{a}(f(t)-g(t) dt=0 $.
Montrer que pour tout $ (x,y)\in [0,a]^2 $ : $ x\int_{0}^{y} g(t) dt \geq y\int_{0}^{x} f(t) dt $

[youyou7]

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

Oui c'est ça ! Evidemment, pour les trouver toutes c'est une autre histoire !

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

Tu nous présente un bon "brouillon" alors que tu ne devrais présenter que la phase de vérification.
Tu devrais parachuter ton candidat et procéder aux vérifications qui vont bien.

Dans l'esprit du topic, je ne pense pas que "balancer" un " Posons a=... et b=..." soit très intéressant.

[ladmzjkf]

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

Une petite indication

SPOILER:

On pourra chercher $ (a,b)\in \mathbb{R}^{2} $ tq $ \forall x>0, f(x)=ax^{b} $

Je ne vois pas vraiment la motivation derrière cette indication.
D'ailleurs, as-tu d'autres exercices de suites, l'autre était très intéressant mais je l'avais déjà vu ...

[Magnéthorax]

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

Ca me parait juste mais je ne sais pas si on peut identifier entre un polynôme et une fonction racine. A vérifier

Il ne s'agit pas d'une "identification" : il s'agit de constater que pour ces valeurs de a et b, ça fonctionne. Si je vous demande de trouver trois réels $ a,b,c $ tels que pour tout réel $ x $ on a $ \frac{x^2+1}{x+1}=ax+b+\frac{c}{x+1} $, vous n'utilisez pas une "identification" : vous montrez qu'en choisissant $ a=..., b=..., c=... $ ça marche bien. Même si, sur le plan pratique, vous "identifiez" effectivement des paramètres impliqués dans une égalité, le terme d'"identification" est à éviter ici.

Une situation d'"identification", c'est quand vous voulez montrer l'unicité d'une telle écriture. Typiquement, lorsque vous disposez de réels $ a,b,c,a',b',c' $ tels que pour tout réel $ x $ différent de $ -1 $ vous avez $ ax+b+\frac{c}{x+1}=a'x+b'+\frac{c'}{x+1} $ alors vous pouvez démontrer que $ a=a',b=b',c=c' $.

Quelques situations typiques on l'on rencontre un argument du type '"identification" : à chaque fois la conclusion consiste en l'affirmation d'une identité/égalité.

1. Si vous avez deux fonctions polynômes qui sont égales, alors leurs coefficients sont égaux.

2. Si vous avez une fonction $ f $ dérivable sur $ \mathbb{R} $ avec $ f'=f $ et $ f(0)=1 $, alors $ f=\exp $.

3. Si $ f,g $ sont dérivables sur un (vrai) intervalle $ I $ avec $ f'=g' $ sur $ I $, alors il existe un réel $ c $ tel que $ f=g+c $ sur $ I $.

4. Soit $ f $ une fonction réelle définie sur $ \mathbb{R} $. Si deux suites réelles $ u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ et $ v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}} $ sont telles que $ u_0=v_0 $ et pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n+1}=f(u_n) $ et $ v_{n+1}=f(v_n) $, alors $ u=v $.

Avec les maths dont vous disposez, ce sont des théorèmes.

[Magnéthorax]

Désolée de mon absence, je n'étais pas hyper dispo.

Determiner une fonction $ f $ bijective de $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ dans $ \mathbb{R}^{*} _{+} $ telle que $ f'=f^{-1} $

SPOILER:

Avec tes conseils, on pose $ f(x) = ax^b $ avec $ (a;b)\in \mathbb{R}*^2 $

$ f'(x) = abx^{b-1} $

$ f^{-1}(x) = (\frac{x}{a})^{\frac{1}{b}} $

On cherche donc a et b dans R tels que $ abx^{b-1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}}*x^{\frac{1}{b}} $

Ainsi $ b - 1 = \frac{1}{b} $
D'où $ b^2 - b - 1 = 0 $
L'une des solutions de cette égalité est le nombre d'or $ \phi $ (comme tu ne demandes qu'une fonction, on va travailler avec cette valeur de b, on aurait pu prendre l'autre solution, mais j'aavais la flemme d'écrire plein de racines et de fractions ).

De plus $ ab = \frac{1}{a^{\frac{1}{b}}} $

Donc $ \phi*a = \frac{1}{a^{\frac{1}{\phi}}} $

D'où $ a^{\frac{\phi + 1}{\phi}} = \frac{1}{\phi} $

Donc $ a = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}} $

Ainsi une fonction f solution est, sauf erreur, $ f(x) = \phi^{-\frac{\phi}{\phi + 1}}*x^{\phi} $

D'autre part, je cherche des exos intéressants sur les intégrales, donc si quelqu'un en a, ce ne sera pas de trop ! Si j'en trouve de mon côté, je les posterai !

Il y en a plein dans ce fil même : il suffit de les chercher. J'en ai mis un dans l'autre fil 1ère-term pour entrevoir le lien entre primitive et intégrale, mais je ne suis pas certain que vous le trouviez digne d'intérêt.

[Magnéthorax]

Pour résumer l'exo de youyou7 autour de $ f'=f^{-1} $ :

- des notions HP (bijection, exposants réels irrationnels) qui donnent lieu à des hésitations bien normales et qui perdront toute ambiguïté au niveau term+1

- la seule question intéressante (existe-t-il d'autres solutions ?) difficilement traitable ici, en partie à cause des ambiguïtés rencontrées avant.

Intérêt ?