Exercices de MPSI

[Luckyos]

Bravo c'est ça, mais la somme géométrique est pas obligatoire, tu peux aussi utiliser une relation de récurrence pour la suite des nombres s'écrivant qu'avec des 1

[NoToday]

Ah bah voilà je sentais bien qu'il y avait un truc useless...

[donnerwetter]

Allons-y gaiement, tout le monde a le droit de participer! :-p

Chouette alors ! Bien vu pour les 2 exos sinon.

Déterminer tous les entiers positifs M tels que la séquence $ a_0, a_1, a_2... $ définie par :
$ a_0 = M + 1 / 2 $ et $ a_{k+1} = a_k * \lfloor a_k \rfloor $ admette au moins un entier.

Seul 1 n'est pas solution.

Soit $ n \geq 1 $, l'entier qui est congru à $ 2^n+1 $ modulo $ 2^{n+1} $ est solution : en effet si $ M=2^{n+1}k+2^n+1 $, alors $ [a_1]=2^n(4k^2+5k+4)+2^{n-1}+1 \equiv 2^{n-1}+1 \pmod {2^n} $, puis par récurrence $ [a_{n-1}] $ est pair et $ a_n $ entier.
Ainsi sont solutions : les entiers pairs ; les entiers impairs ayant un 1 dans leur écriture binaire ailleurs qu'en 1ère position (le 1er est disons en $ n^{ème} $ position à partir de la droite, on est dans le cas précédent en travaillant modulo $ 2^{n+1} $), d'où la conclusion.

[Protostus]

Merci Luckyos pour l'astuce! Ca fait une très jolie identité pour le coup
Donnerwetter : joli! Je suis épaté par le côté synthétique de ta preuve, c'est gentil d'avoir pensé à tous nos lecteurs

Tu m'as donné envie de poser un autre problème, il est tout frais, je l'ai vu débarquer il y a 10 minutes :

Pour chaque $ a_0 $ entier positif strictement supérieur à $ 1 $, on définit la suite $ a_0 $, $ a_1 $, $ a_2 $,... pour $ n \geq 0 $ par :
$ a_{n+1} = \sqrt a_n $ si $ a_n $ est un carré parfait
$ a_{n+1} = a_n + 3 $ sinon
Déterminer toutes les valeurs de $ a_0 $ telles qu'il existe un nombre $ A $ tel que $ a_n = A $ pour une infinité de valeurs de $ n $

[JeanN]

Source du précédent problème :
https://artofproblemsolving.com/community/c481799

[brank]

JeanN, ça vient des IMO cet exo ?

C'est pas dur pourtant même moi j'y arrive. En regardant modulo 3 on voit que y'a que les multiples de 3.

[JeanN]

Oui, ce n'est pas un exercice très difficile

[Errys]

Bonjour, étant donné que nous n'avons plus que le bac à travailler, je propose de relancer ce topic !

Voici 2 problèmes :

- Soit $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ 2 fois dérivable avec $ f''(x)\ge 0 $ pour tout x de $ \mathbb{R} $. Montrer que $ f $ est au dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes (entre les deux extrémités de chaque corde).

- Soit $ (x_n) $ et $ (y_n) $ deux suites réelles. On a, pour un certain réel $ a $ : $ x_n + y_n \longrightarrow 2a $ et $ e^{x_n} + e^{y_n}\longrightarrow 2e^a $. Montrer que $ (x_n) $ et $ (y_n) $ convergent vers $ a $.

[jandri]

Il y a une erreur dans la première hypothèse du deuxième exercice.

C'est $ x_n+y_n\longrightarrow 2a $.

[Errys]

Merci, c'est corrigé. J'ai d'autres exercices si il y a des gens qui veulent.
Par ailleurs, existe-t-il une solution pour le second que j'ai posté, sans "astuces" de calcul ?