Groupes isomorphes

[Deviling]

Bonjour, J'ai un exercice ou je dois trouver tous les groupes isomorphes parmi ceux-là :
(Z/6Z, +) ; (Z/2Z x Z/3Z, +) ; (U6, .) ; (S6, o) ; (Z, +) ; (Z², +), (Q, +) ; (Q+*, .) ; (R, +) ; (R+*, .) ; (C*, .)

Voici mes recherches :

Alors déjà je pense que si deux groupes sont isomorphes et que l'un est de cardinal fini alors l'autre aussi.
De plus, si A est isomorphe à B et B isomorphes à C alors A est isomorphe à C.
Enfin si A est commutatif et isomorphe à B alors B est commutatif
Ces trois propriétés n'ont pas l'air très difficile à démontrer.

Donc il y a deux lots de groupes :
Cardinaux finis : (Z/6Z, +) ; (Z/2Z x Z/3Z, +) ; (U6, .) ; (S6, o)
Cardinaux infinis : (Z, +) ; (Z², +), (Q, +) ; (Q+*, .) ; (R, +) ; (R+*, .) ; (C*, .)

Cardinaux finis :
(Z/2Z x Z/3Z, +) isomorphe à (Z/6Z, +) avec f : (a, b) -> 3a + b
(Z/6Z, +) isomorphe à (U6, .) avec f : n -> exp(i*n*Pi/6)
(S6, o) n'est pas commutatif contrairement aux autres groupes donc ne peut être isomorphe.

Cardinaux infinis :
(R, +) isomorphe à (R+*, .) avec f : x -> exp(x)

Pour le reste je galère un peu :
(Z, +) n'a pas l'air d'être isomorphe car trop "petit" pour moi
(Z², +) est presque isomorphe à (Q, +) avec quelque chose comme f : (a,b) -> a/b
Mais ce n'est pas un morphisme et il y a un problème pour a = b = 0
(Q, +) pourrait peut-être est isomorphe à (Q+*, .) comme la été R sauf que là exp ne marche pas
Je ne voie pas comment un de ces groupes peut être isomorphe à (R, +)
(C*, .) n'a pas l'air d'être isomorphe car trop grand [il possède deux variables réelles : Re(z) et Im(z)]

Enfin, voila je ne sait pas vraiment comment prouver que ces groupes ne sont pas isomorphes.
Et je n'arrive pas à savoir si parmi les groupes restants je n'ai pas oublié d'isomorphe...

[MFred]

Salut !

Pour R, Z, Z^2 et Q, tu peux trouver une solution ici : http://www.eleves.ens.fr/home/sage/Coll ... roupes.pdf (premier exercice : "Pour s'échauffer" )

Si tu veux chercher un peu sans regarder la solution : de manière générale, si tu n'arrives pas à trouver un morphisme "naturel", c'est probablement qu'il n'en existe pas ; tu peux alors raisonner par l'absurde ...

[Deviling]

Merci, ton article est très intéressant, d'autant plus que l'argument de la dénombrabilité est très utile.

On a donc parmi les groupes de cardinal infinis :
Les dénombrables : (Z, +) ; (Z², +) ; (Q, +) ; (Q+*, .)
Les indénombrables : (R, +) ; (R+*, .) ; (C*, .)

Grâce à ton article, (Z, +), (Z², +) et (Q, +) ne sont pas isomorphes.
Il ne me reste plus que (Q+*, .)

J'ai déjà (R, +) et (R+*, .) isomorphe.
Il me reste plus qu'à montrer que (C*, .) n'est pas isomorphes.
Car (je me comprends) il est de dimension 2 alors que les autres sont de dimension 1.

[MBarthOut]

Tu peux aller au-delà de l'aspect fini/infini dans ton raisonnement, en considérant aussi qu'un ensemble dénombrable ne peut pas être équipotent à un ensemble non dénombrable.

Par contre, l'idée de $ (\mathbb{Z},+) $ trop petit par rapport à $ (\mathbb{Q},+) $ est fausse puisque les deux ensembles sont dénombrables. Mais, effectivement, les deux groupes ne sont pas isomorphes à cause d'une autre différence majeure : l'arithmétique! On raisonne généralement par l'absurde.

SPOILER:

Supposons l'existence d'un isomorphisme $ f $ entre $ (\mathbb{Q},+) $ et $ (\mathbb{Z},+) $.

Soient $ p \in \mathbb{Z}^* $.

On a : $ 1 = p \times \frac{1}{p} $ donc $ f(1) = p \times f(\frac{1}{p}) $.

D'où : $ \forall p \in \mathbb{Z}^*, \ p|f(1) $.

Cela implique que $ f(1)=0 $, ce qui est exclu par injectivité de $ f $!

Pour montrer que $ (\mathbb{C}^*,.) $ et $ (\mathbb{R}_+^*,.) $ ne sont pas isomorphes, tu peux utiliser que $ \mathbb{C} $ est algébriquement clos (contrairement à $ \mathbb{R} $).

SPOILER:

Supposons l'existence d'un isomorphisme $ f $ entre $ (\mathbb{C}^*,.) $ et $ (\mathbb{R}_+^*,.) $.

On a : $ f(-1) = f(i)^2 = f(-i)^2 $.

Comme $ f $ est positive, $ f(i)=f(-i) $.

Donc $ f $ n'est pas injective, ce qui est exclu!

[Shindara]

Quelques pistes pour ce genre d'exos :

Tout d'abord, un isomorphisme implique une bijection, donc il faut déjà que les des ensembles puissent être mis en bijection. Pour des ensembles finis, ça veut dire avoir le même nombre d'éléments, et même pour des ensembles infinis, ça donne des choses ( par exemple: Q et R peuvent-ils être mis en bijection ? et R et R² ?).

Ensuite, il va falloir raisonner sur les propriétés des groupes. Or l'un des concepts fondamentaux avec les groupes, c'est...l'ordre d'un élément. Je te laisse montrer qu'en cas d'isomorphismes, deux éléments en relation ont le même ordre. Grâce à des arguments d'ordre (ordre des éléments, tous finis, tous infinis, certains finis et d'autres infinis, éléments générateurs,....). Cela suffit pour la majorité des cas. Après, on peut raisonner sur d'autres propriétés. Par exemple, dans C, tout élément admet des racines, ce qui n'est pas le cas dans R (ce qui revient au fait que C est algébriquement clos...). L'important est de chercher une propriété caractéristique du groupe que les autres ne peuvent pas posséder.

[Thaalos]

SPOILER:

Supposons l'existence d'un isomorphisme $ f $ entre $ (\mathbb{C}^*,.) $ et $ (\mathbb{R}_+^*,.) $.

On a : $ f(-1) = f(i)^2 = f(-i)^2 $.

Comme $ f $ est positive, $ f(i)=f(-i) $.

Donc $ f $ n'est pas injective, ce qui est exclu!

Ou alors $ i = -i $, et donc ils sont peut-être isomorphes !
Haha, je suis trop fort !

Ok je sors...

[YLS]

SPOILER:

Supposons l'existence d'un isomorphisme $ f $ entre $ (\mathbb{C}^*,.) $ et $ (\mathbb{R}_+^*,.) $.

On a : $ f(-1) = f(i)^2 = f(-i)^2 $.

Comme $ f $ est positive, $ f(i)=f(-i) $.

Donc $ f $ n'est pas injective, ce qui est exclu!

Ou alors $ i = -i $, et donc ils sont peut-être isomorphes !
Haha, je suis trop fort !

Ok je sors...

$ i=\sqrt{(i)^2}=\sqrt{(-i)^2}=-i $, nous sommes bien d'accord

[Hachino]

Est-ce votre ultime bafouille ?

[Thaalos]

$ i=\sqrt{(i)^2}=\sqrt{(-i)^2}=-i $, nous sommes bien d'accord

D'ailleurs c'est vrai pour tout $ a \in \mathbb{C}, a = \sqrt{(a)^{2}} = \sqrt{(-a)^{2}} = -a $ !
D'où $ \mathbb{C} $ est le corps nul !

[Deviling]

D'où $ \mathbb{C} $ est le corps nul !

Donc C* c'est le vide !