Séries

[G.C.]

Bonjour,

J'aimerais savoir si le résultat suivant est vrai. Il me parait moral, mais je n'arrive pas à le prouver (ou à l'infirmer par un contre-exemple ).
" Soit (an) une suite de réels strictement positifs, terme général d'une série convergente. Alors (an) est un petit 'o' de 1/n ".

Merci =)

[MFred]

Bonjour,

Sans hypothèse de décroissance de $ (a_n) $, c'est faux. Un contre exemple : $ a_n = \frac{1}{n} $ si n est un carré, $ a_n = 0 $ sinon.

Par contre, le résultat est vrai si $ (a_n) $ est décroissante.

[Aldmer]

Il est faux. Tu peux par exemple prendre an = 1/n si n a une racine entière, 0 sinon.

Il devient vrai si tu prends pour an une suite décroissante.

EDIT: Ah, devancé !

[G.C.]

D'accord =) Quelqu'un connait une preuve du résultat si on suppose que (an) est décroissante?

[gardener]

Tu peux le montrer à la main de la façon suivante :
Par l'absurde, on suppose que : $ \exist \varphi $ une extraction vérifiant de plus $ \varphi(n+1) \geq 2*\varphi (n) $ telle que $ \forall \ n \ a_{\varphi(n)} \geq \frac{\mu}{\varphi(n)} $ avec $ \mu > 0 $.
Ensuite, tu sommes tout par paquet en minorant $ a_{p} $ par $ \frac{\mu}{\varphi(n+1)} $ lorsque p décrit l'intervalle $ [\varphi(n)+1, \varphi(n+1)] $: ça diverge !

edit : il y avait une petite coquille.

[Necklor]

(Et bien veillé à dire que (an) est de signe constant pour pouvoir sommer par tranche)

[Maissa]

une autre façon possible (qui me semble plus facile) est de montrer que n*an tend vers 0, pour cela on peut utiliser les sommes partielles, la décroissance, et le reste en montrant tout d'abord que 2n*a2n tend vers 0.
en espérant ne pas me tromper