Exo

[yaden]

Voila : :Dmmm

Soit $ (u_{n})_{n\geq 0} $ une suite d'elements de $ \mathbb{R} $ tq:
$ ||u_{n+1}-u_{n}||\underset{n}{\rightarrow}0 $
montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $ (u_{n})_{n\geq 0} $ est un intervalle

[Nuhlanaurtograff]

S'il y a une seule ou pas de valeurs d'adhérence, le résultat est immédiat. Sinon, on prend a et b deux valeurs d'adhérence distinctes et on prend t dans ]0,1[, et on montre que a+t*(b-a) est une valeur d'adhérence (seule "difficulté" de la preuve, mais assez visible si on fait un dessin). On en déduit que l'ensemble des valeurs d'adhérence est convexe, et donc est un intervalle.

[LB]

Si la suite n'est pas bornée ça me semble difficile pour pas dire faux.
Edit : ah non en dimension 1 ça doit marcher...