Somme des combinaisons

[moroccanatheist]

Pourriez vous m'aider s'il vous plait, je bloque sur cet exo :

Calculer les sommes:

S=\binom{n}{0} + \binom{n}{3} + \binom{n}{6}+....\; \; \; \; et\: T=\binom{n}{1}+\binom{n}{4}+\binom{n}{7}...\, \; et\; \; U=\binom{n}{2}+\binom{n}{5}+\binom{n}{8}...


(La somme des combinaison)

[optimath]

Pour plus de clarté :

Pourriez vous m'aider s'il vous plait, je bloque sur cet exo :

Calculer les sommes:

$ S= \displaystyle {\sum_{0\leq 3k \leq n} \binom{n}{3k}} $
$ T= \displaystyle { \sum_{ 0\leq 3k+1 \leq n} \binom{n}{3k+1}} $
$ U= \displaystyle { \sum_{ 0\leq 3k+2 \leq n} \binom{n}{3k+2}} $

[Wenneguen]

Je peux me tromper, car moi non plus je n'aime pas du tout ce genre de somme, mais il me semble qu'elles valent toutes $ \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k} = 2^n $ , non ? (binôme de Newton)

[JeanN]

Non, pas vraiment...
Indication : poser $ j=exp(2i\pi/3) $ et simplifier avec le binôme les trois sommes suivantes :
$ S+T+U ,
S+jT+j^2U ,
S+(j^2)T+(j^2)^2 U $

[moroccanatheist]

Non, pas vraiment...
Indication : poser $ j=exp(2i\pi/3) $ et simplifier avec le binôme les trois sommes suivantes :
$ S+T+U ,
S+jT+j^2U ,
S+(j^2)T+(j^2)^2 U $

C'est clair ! Merci beaucoup.