Exam en analyse, un peu d'aide? :)

[meryqueen]

Salut, bon je suis en 2eme année universitaire, filière maths appilquées,
Bon on vient de passer un exams,, et..... je l'ai pas eu malheureusement,
Bon voici l'exams ( tout en bas ) je veux pas savoir toute la solutions ( c'est lent non? ) sinon que des indices pour commencer a rédiger, aucun de mes collègue n'as pu le résoudre en entier, Et j'ai un rattrapage bientôt, voilà merci pour toutes reponse,

matière:Analyse4: "" serie numerique, suite et series de fonctions, series de fourier""

[bullquies]

Premiere question : DSE de x*exp(x) puis deriver deux fois.
Deuxieme : x*sin(x) derive une fois ?
Sinon pourquoi tu nous dirais pas ce que tu as déjà fait...

[meryqueen]

question 1) je l'ai pas touché

question 2)
a) posons montrons que est bien definie, sur là, j'ai trouvé que et convergente sur donc elle est convergente sur notre intervalle

b) j'ai demontrer que est normalement convergente sur donc continue sur cet intervalle donc continue sur l'intervalle I

c) classe C1 ?? j'ai demontrer qu'elle converge uniformement sur les deux intervalle, toujours j'ai pris


PARTIE II;
a) j'ai calculé: donc le rayon de convergence et l'inverse de la limite que j'ai trouvé c'est 1 normalent si les calculs sont juste

b) j'ai pas arrivé a la faire
C) j'ai pas le b) donc.....

Voilà c'est tout ce que j'ai pu faire


pour question 2) partie II..... j'ai rien pigé

[alm]

I.1.a) il suffit d'écrie $ n^2+n=n(n-1)+2n $ et remarquer alors que $ \sum\limits_{n=0}^{+\infty} u_n= \sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n-2)!}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)!} $

I.1.b) Tu peux remarquer que $ \frac{nx^n}{2n+1}=x. \frac{nx^{n-1}}{2n+1} $
Tu es donc ramné à calculer la somme $ g(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{nx^{n-1}}{2n+1} $ laquelle se ramène à $ G(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1} $. Pour $ x>0 $ si $ y=\sqrt x $, on a $ G(x)=H(y)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{y^{2n}}{2n+1}=\frac{1}{y} \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{y^{2n+1}}{2n+1} $ et là je te laisse terminer car tu dois reconnaître un DSE usuel.
Si $ x<0 $, on reprends la même méthode en posant $ y=\sqrt{-x}. $

[meryqueen]

oui merci beaucoup, finalement je pense avoir trouvé comment resoudre la partie II. serie de fourier, on a qu'a remplacé z dans l'expo, et développer.. sinon que la question II.e) que j'ai pas pu savoir d'où la commencer :)
merci pour ton aide

[optimath]

sinon que la question II.e) que j'ai pas pu savoir d'où la commencer

Quel est le lien entre la fonction à intégrer (dans J) et la fonction $ f $ ? Est-ce que cela te fait penser à Monsieur Parseval ?

PS : D'ailleurs, ça va te permettre de contrôler si le calcul de $ I_n $, que tu as fait dans la 2.d, est bon.

[meryqueen]

Mais oui c'est bien ça, je comprends mieux là, merci beaucoup, je vais rediger le tout pour voir comment ça s'passerait

[alm]

Puisque tu veux rédiger (bonne chose), je te propose :
$ \bullet $ Essaye de revoir la question I.2).
Précisément, tu as dit dans le a) que si $ a \geq 1 $ alors $ f $ est bien définie sur $ [a,+\infty[ $, ce qui n'est pas le cas car si $ a=1 $, alors $ f $ n'est pas définie sur $ [1,+\infty[ $ puisqu'elle n'est pas définie en $ 1 $.
Pour le petit b) c'est la série $ \sum f_n $ qui converge normalement sur $ [a,+\infty[ $ mais pour tout $ a > 1 $ (et pas $ \geq 1 $ ).
Pour le c) tu as parlé de la convergence uniforme et de deux intervalles mais je n'ai pas vraiment compris ce que tu voulais dire.
Tu dois simplement utliser ton cours
les $ f_n $ sont de classe $ C^1 $ sur $ ]1,+\infty[ $.
la série $ \sum f_n $ converge simplement sur $ ]1,+\infty[ $.
Tu calcules $ f_n'(x) $ et tu prouve que la série $ \sum f_n' $ converge uniformément sur tout segment inclus dans $ ]1,+\infty[ $ ( tu peux même prouevr que $ \sum f_n' $ converge normalement sur $ [a,+\infty[ $ pour tout $ a > 1 $ ).
Tu conclues ensuite.

$ \bullet $ La question II.2.c) nécessite une justification bien expliquée, si tu veux présenter la tienne ça sera bien pour toi.