Isomorphisme d'espaces euclidiens, morphismes, isométries

[gundertaker]

Bonjour, je me perds un peu dans toutes les notions que vous voyez dans le titre, je vous explique mon problème :
dans mon cours sur les espaces euclidiens, mon professeur définit d'abord ce qu'est une isométrie qu'il appelle également isomorphisme euclidien : une appli lin entre deux espaces euclidiens E et F qui respecte le norme ou qui respecte le ps.
ensuite il definit ce qu'est un MORPHISME euclidien exactement de la même manière, alors je suis perdu, quelle est la difference entre une isometrie et un morphisme euclidien ?
de plus, dans un livre j'ai trouvé une definition de isometrie vectorielle, ils definissent cela comme un endomorphisme qui respecte la norme ! Rien à voir
je suis complètement paumé, pouvez vous m'aider à distinguer tout cela svp ?

[JeanN]

Tout ce que tu dois savoir se trouve ici par exemple
http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? ... 50#id36377

[Arky]

La réponse à ta question se trouve là : https://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

[gundertaker]

Je sais ce que c'est qu'un isomorphisme mais je demande si vous connaissez la difference entre isometrie et morphisme euclidien ?

[JeanN]

La définition que tu as donnée dans ton premier post est très confuse. Es-tu sûr que c'est bien ce que ton prof a écrit ?

[Arky]

Je sais ce que c'est qu'un isomorphisme mais je demande si vous connaissez la difference entre isometrie et morphisme euclidien ?

Une isométrie est un isomorphisme euclidien alors que le morphisme euclidien est, comme son nom l'indique, un morphisme euclidien. Un des deux ensembles est strictement inclus dans l'autre.
Par contre, je suis d'accord avec JeanN sur la clarté des définitions à ta disposition. N'hésite pas à aller voir des alternatives sur internet dans ce genre de cas.

[gundertaker]

Je me suis rendu compte de mon erreur dans le premier post, c'est pour cela que je l'ai corrigée. Pour moi un isomorphisme est une application bijective d'un espace vectoriel dans un autre, je suppose donc qu'un isomorphisme euclidien (dont vous m'avez bien confirmé qu'on peut également l'appeler isométrie ) est une application bijective d'un espace euclidien dans un autre. En revanche, mon professeur n'a pas donné de definition de ''morphisme'' et je ne trouve pas de definition satisfaisante autre part. Tu me dis qu'un des deux ensembles est inclus dans l'autre. Il s'agirait donc d'une application injective entre 2 espaces ?
Si j'ai bien compris ( pourrais tu m'indiquer si je me trompe) :
un morphisme euclidien est + general qu'un isomorphisme euclidien. Il conserve le p.s et la norme comme ce dernier et + généralement, un morphisme est une injection d'un e.v dans un autre.

[Arky]

Ouh là non, je n'ai rien confirmé, je en fais que reprendre tes termes car cd n'est déjà pas clair.
Si tu veux être sûr de tes définitions, va voir sur internet, genre https://fr.wikipedia.org/wiki/Isom%C3%A9trie
Quand je parle d'inclusion, c'était pour te faire dire que les isomorphismes sont inclus dans les morphismes, donc moralement rajouter du "euclidien" n'est pas censé changer ça.
De façon générale, un morphisme n'est pas forcément injectif, par exemple le morphisme nul partant d'un espace de dimension supérieure à 1 (genre R).

[gundertaker]

Ok j'avais rien compris alors ^^ oui ''isomorphisme'' est surement inclus dans ''morphisme''.
j'ai trouvé c'est definition pour morphisme :

soient (A,*) et (B,%) deux ensembles, munis chacun d'une lois interne.
soit f une application de A dans B
On dit que f est un morphisme ssi pour tout (x,y) dans A^2, f (x*y)=f (x)%f (y).
Donc si j'ai bien compris, une application lineaire entre 2 espaces vectoriels, est un morphisme d'e.v.
et comme une espace euclidien n'est autre qu'un espace vectoriel, une application lineaire entre 2 espaces euclidiens est un morphisme euclidien.
si on rajoute bijective,c'est un isomorphisme
si source=but c'est un endo
si c'est un endo et un iso c'est un auto

[Oka]

Oui voila c'est la definition que j'ai des morphisme ça respecte les loi de composition
si tu rajoute morphisme d'ensemble vectoriel ça doit respecter deux truc : l'addition et la multiplication par un scalaire, et ça s'appelle aussi application lineaire.
Pour isometrie j'ai été voir la definition dans le tome d'analyse et c'est juste une application qui conserve les distance, c'est pas forcément bijectif. A priori c'est pas pareil que morphisme d'ev, mais peut etre que ça coincide ?