[MPSI] Équation de Pell Fermat

[Med66]

Bonsoir, je suis bloque sur ce DM que j'ai à faire pour les vacances ! J'ai réussi la première question mais pour les autres, je ne vois pas du tout, si vous pouviez me donner la méthode à appliquer, comme j'essayerai de le faire et je vous retourne ce que j'ai fait ! Je vous remercies d'avance de votre aide

http://www.noelshack.com/2015-52-145123 ... 7-2015.jpg

[Med66]

Existence et unicité ?

[Med66]

Il faut que quelque chose soit égale à quelque chose comme l'unicité de la limite, quand l=l', donc là il faut que l'objet soit égal à un autre objet ?

[truchement]

Salut,

tu bloques à la 2eme question préliminaire ou à la deuxième question de I ?

Pour la deuxième question préliminaire, quels sont les carrés de Z/4Z ?
Pour la deuxième question de I, que se passe-t-il si $ a+b\sqrt{3} = a' + b' \sqrt{3} $ en sachant que $ \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} $ et $ (a,b,a',b')\in \mathbb{Z}^4 $ ?

[Med66]

Les deux !

Les carrés ? C'est à dire ? Z^2 et 16Z^2 ?

X appartient à Z, donc si a+bracinede3=a'+b'racinede3 alors x appartient à R\Q et donc c'est unique ?

[JeanN]

Pour la deuxième question du préliminaire, oublie l'indication hors programme de truchement et procède par l'absurde.
Pour la deuxième deuxième question, tu dois montrer que a=a' et b=b' avec l'hypothèse que a+sqrt(3)b=a'+sqrt(3)b' (et a,b,a',b' entiers...)

[Med66]

D'accord je vais essayer merci !

[truchement]

Les carrés ? C'est à dire ? Z^2 et 16Z^2 ?

?

Je ne sais pas ce que sont tes formules, mais je parle des carrés modulo 4 (peut-être que tu n'as jamais rencontré la notation Z/4Z)

X appartient à Z, donc si a+bracinede3=a'+b'racinede3 alors x appartient à R\Q et donc c'est unique ?

euh je n'ai pas compris ta réponse. X n'appartient pas à Z si tu utilises la notation de l'énoncé mais à $ \mathbb{Z}[\sqrt{3}] $ et la suite ne veut rien dire.

[truchement]

Pour la deuxième question du préliminaire, oublie l'indication hors programme de truchement et procède par l'absurde.

Ok, au temps pour moi je n'ai pas fait attention que c'était hors programme.

[Tornado]

Tiens d'ailleurs je profite du fil pour poser une question qui me trotte dans la tête : lorsqu'on étudie des anneaux du type Z[truc] (enfin je l'ai déjà fait avec Z[racine d'un entier] et Z les entiers de Gauss), l'énoncé nous donne toujours une application sympathique qui permet de faire pas mal de trucs sur les inversibles notamment.
C'est un fait général de munir un anneau d'une telle norme ? Elle existe à chaque fois pour Z[truc] ?