Bonjour, je bloque sur une question d'un exo d'algèbre linéaire :
Soient E et F deux Kev de dimension finie, u∈L(E,F) , v∈L(F,E)
On suppose u∘v∘u=u et v∘u∘v=v
1) Montrer que E=Keru⨁Imv
2)On se donne u∈L(E,F). On considère E1 sous-espace de E et F1 sous-espace de F tels que E=Keru⊕E1 et F=Imu⊕F1
Démontrer qu'il existe un unique v∈L(F,E) tel que : u∘v∘u=u ;v∘u∘v=v et Imv=E1 ; Kerv=F1
La question 1) est sans difficulté, pour la question 2) j'ai essayé de faire par analyse synthèse pour pouvoir utiliser la question 1 mais je ne vois pas comment déterminer complètement l'application v à ce moment là.
Auriez-vous des pistes (si possible pas trop explicites) ?
Merci !
Exercice d'algèbre linéaire
Re: Exercice d'algèbre linéaire
Bonsoir,
Il me semble la question 2) cherche à établir la réciproque de 1) et qu'il n'est donc pas nécessaire de chercher à utiliser 1)
Sinon comme piste, on peut adapter un résultat de théorie des groupes ici pour exploiter la relation forte entre u et v
Il me semble la question 2) cherche à établir la réciproque de 1) et qu'il n'est donc pas nécessaire de chercher à utiliser 1)
Sinon comme piste, on peut adapter un résultat de théorie des groupes ici pour exploiter la relation forte entre u et v