Exercice suites

[Zesvya]

Bonjour,
Je me trouve devant un exercice sur les suites, mais rien à faire, je bloque depuis une heure...
L'énoncé :
Soit (an) une suite positive
Soit un=an/(1+a1)(1+a2)...(1+an)
Montrer que (un) converge
Notre prof nous a suggéré d'étudier la somme des un mais je n'arrive pas à en faire grand-chose...
Merci d'avance

[lionel52]

Autre méthode : soit e > 0
On suppose qu'il existe une infinité de termes an tels que an > e (sinon c'est gagné) et on pose En = card(p <= n tel que an > e)
Alors En tend vers l'infini quand n -> +oo

Et donc Un < ....

[Retard]

Salut

ton prof te donne une indic donc suis là. le cas général ne te semble pas évident ? commence par étudier u1+u2 alors ! regarde comment tu peux la simplifier au max. Tu atterris sur une formule que tu pourrais généraliser ?

[AdrienX]

Hello

un=an/(1+a1)(1+a2)...(1+an) = 1/(1+a1)(1+a2)...(1+a(n-1)) - 1/(1+a1)...(1+an)

En introduisant une suite (vn) bien choisie, tu pourras exprimer u(n) en fonction de v(n) et v(n-1).
Suis ensuite l'indication de ton prof en sommant les termes de u(n) : l'expression se simplifie grandement.

[Zesvya]

Re
Merci beaucoup pour vos réponses

@lionel52
Donc si j'ai bien compris on a alors un <= an/(1+an)*A*(1+e)^(En-1) avec A un nombre fini an/(1+an) plus petit que 1 et 1/(1+e)^(En-1) tendant vers 0
Donc par encadrement lim un=0
C'est ca ?
En revanche je n'ai pas compris en quoi si En ne diverge pas le problème est résolu

@AdrienX
Oui en effet c'est un jeu d'enfant après merci beaucoup