Exercice Polynômes

[quentin85]

Bonjour, j'aimerai avoir une piste pour cet exercice :

f(x) = 1/[(1+x^2)^(1/4)]
J'ai déjà montré que f est de classe C infini, et que pour tout entier naturel il existe un polynôme de degré n (Pn(x)) tel que pour tout x réel :
la dérivée n-ième de f est égale à Pn(x)/[(1+x^2)^(n+(1/4))]

Je cherche à démontrer que : pour tout x réel et pour tout n >= 1 :
Pn+1(x) + (2n+1/2)*x*Pn(x) + n(n-1/2)(x^2+1)Pn-1(x) = 0

Je suis parti vers une récurrence forte, l'initialisation à 1 c'est ok mais pour l'hérédité je bloque...
J'ai calculé les 3 premières dérivées successives, ainsi que les 3 premiers polynômes
Auriez-vous des pistes à me donner ?

[JeanN]

Dérive n fois (1+x^2) * f(x)^4 (avec Leibniz)
Ca pourrait donner directement la relation cherchée (je n'ai pas fait les calculs)

[jmctiti]

Bonjour

Après avoir calculé f'(x), tu peux trouver une relation très simple entre f(x), f'(x) et des expressions polynomiales en x.

(tu peux aussi trouver cette relation en dérivant (1+x^2)f(x)^4, mais il faut alors simplifier par f(x)^3 avant de dériver n fois)

En dérivant n fois cette relation (avec Leibniz), tu trouveras ce qu'il faut.

Bon calcul !