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Bonjour, j'aimerai avoir une piste pour cet exercice :

f(x) = 1/[(1+x^2)^(1/4)]
J'ai déjà montré que f est de classe C infini, et que pour tout entier naturel il existe un polynôme de degré n (Pn(x)) tel que pour tout x réel :
la dérivée n-ième de f est égale à Pn(x)/[(1+x^2)^(n+(1/4))]

Je cherche à démontrer que : pour tout x réel et pour tout n >= 1 :
Pn+1(x) + (2n+1/2)*x*Pn(x) + n(n-1/2)(x^2+1)Pn-1(x) = 0

Je suis parti vers une récurrence forte, l'initialisation à 1 c'est ok mais pour l'hérédité je bloque...
J'ai calculé les 3 premières dérivées successives, ainsi que les 3 premiers polynômes
Auriez-vous des pistes à me donner ?

Dérive n fois (1+x^2) * f(x)^4 (avec Leibniz)
Ca pourrait donner directement la relation cherchée (je n'ai pas fait les calculs)

Bonjour

Après avoir calculé f'(x), tu peux trouver une relation très simple entre f(x), f'(x) et des expressions polynomiales en x.

(tu peux aussi trouver cette relation en dérivant (1+x^2)f(x)^4, mais il faut alors simplifier par f(x)^3 avant de dériver n fois)

En dérivant n fois cette relation (avec Leibniz), tu trouveras ce qu'il faut.

Bon calcul !