Si quelqu'un pouvait m'aider un peu, ce serait génial
.Voici l’énoncé: Soit $ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} $ de classe $ C^1 $ telle que $ f(0)=f(1)=0 $
1) montrer que $ \forall t\in [0,1] $ on a: $ f(t)^2\leq t\int_{0}^{t}f'(s)^2ds $
(Celle là je l'ai réussi avec Cauchy-Schwarz)
2) montrer que $ \forall t\in [0,1] $ on a: $ f(t)^2\leq \frac{1}{4}\int_{0}^{1}f'(s)^2ds $
Vu la première question je me suis dit que j'allais de nouveau utiliser Cauchy-Schwarz.
en utilisant un autre produit scalaire et le fait que 1 et 0 ont en gros les mêmes rôles, j'ai obtenu: $ \forall t\in [0,1], f(t)^2\leq (1-t)\int_{t}^{1}f'(s)^2ds $.
J'ai donc sommé et j'arrive à ça $ $ \forall t\in [0,1] $ on a: $ 2f(t)^2\leq t\int_{0}^{t}f'(s)^2ds +(1-t)\int_{t}^{1}f'(s)^2ds $
j'ai l'impression d'être proche de la réponse, mais je n'arrive pas à conclure, j'ai cherché à dériver le terme de droite, pour obtenir un maximum en $ \frac{1}{2} $, puis je me suis rendu compte que ce n’était pas le cas.
Bref: je sèche. Donc si vous avez des idées, je serais très reconnaissant. Merci d'avance
PS: la fin de l'exo est : montrer que $ \int_{0}^{1}f(t)^2dt\leq \frac{1}{8}\int_{0}^{1}f'(s)^2ds $ si ça vous intéresse, mais je n'ai pas encore cherché celle-la $
