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Bonjour à tous, j'ai un petit problème: Je bloque solidement sur une question de maths.
Si quelqu'un pouvait m'aider un peu, ce serait génial .

Voici l’énoncé: Soit $ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} $ de classe $ C^1 $ telle que $ f(0)=f(1)=0 $

1) montrer que $ \forall t\in [0,1] $ on a: $ f(t)^2\leq t\int_{0}^{t}f'(s)^2ds $
(Celle là je l'ai réussi avec Cauchy-Schwarz)

2) montrer que $ \forall t\in [0,1] $ on a: $ f(t)^2\leq \frac{1}{4}\int_{0}^{1}f'(s)^2ds $
Vu la première question je me suis dit que j'allais de nouveau utiliser Cauchy-Schwarz.
en utilisant un autre produit scalaire et le fait que 1 et 0 ont en gros les mêmes rôles, j'ai obtenu: $ \forall t\in [0,1], f(t)^2\leq (1-t)\int_{t}^{1}f'(s)^2ds $.

J'ai donc sommé et j'arrive à ça $ $ \forall t\in [0,1] $ on a: $ 2f(t)^2\leq t\int_{0}^{t}f'(s)^2ds +(1-t)\int_{t}^{1}f'(s)^2ds $
j'ai l'impression d'être proche de la réponse, mais je n'arrive pas à conclure, j'ai cherché à dériver le terme de droite, pour obtenir un maximum en $ \frac{1}{2} $, puis je me suis rendu compte que ce n’était pas le cas.

Bref: je sèche. Donc si vous avez des idées, je serais très reconnaissant. Merci d'avance

PS: la fin de l'exo est : montrer que $ \int_{0}^{1}f(t)^2dt\leq \frac{1}{8}\int_{0}^{1}f'(s)^2ds $ si ça vous intéresse, mais je n'ai pas encore cherché celle-la $

Pour la question 2) j'y arrive pas. Par contre pour la dernière question, tu peux intégrer la première inégalité du 1) pour t entre 0 et 1/2, en majorant le t dans l'intégrale par 1/2. Tu fais un peu pareil pour l'autre et tu sommes.

Je suis désolé, mais j'ai fat une erreur d’énoncé pour le PS. j'ai rectifié.
(ce à quoi Koppnayw a répondu était (je pense ainsi) $ \forall t\in[0,1] $ $ \int_{0}^{1}f(u)^2du\leq \frac{1}{8}\int_{0}^{t}f'(s)^2ds $
Edit: Ducoup non.)

Oui j'avais vu l'erreur, j'ai en fait répondu à ton nouveau PS. C'est l'inégalité de Poincaré.

Ah, ouf. J'avais peur de t'avoir fait réfléchir pour rien. Et ok, merci, je vais chercher un peu l’inégalité de Poincaré sur internet. Peut être que je trouverai la réponse de la 2) (en attendant, si quelqu'un a une idée...)

pour la 2 ca me fait vaguement penser à l'inégalité de taylor.

Si tu l'appliques en 0 et en 1 et que tu fais la moyenne des deux, tu tomberas sur un truc du genre f(t)^2 <= M^2/4 avec M un majorant de |f'|

Je sais pas trop si tu peux faire mieux, mais ça pourrait peut-être te donner une idée

J'ai tenté d'appliquer l'inégalité de Taylor, mais je n'ai pas réussi à conclure: La majoration par M m'a pas permis de retrouver l'intégrale recherchée.

Pour la question 2), on a:
$f(t) = \int_{0}^{t} f(s) \ ds \leq \sqrt{t} \sqrt{\int_{0}^{t} f(s)^{2} \ ds}$ et $f(t) = - \int_{t}^{1} f(s) \ ds \leq \sqrt{1 -t} \sqrt{\int_{t}^{1} f(s)^{2} \ ds}$ d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Et du coup, \[f(t)^{2} \leq \sqrt{t (1 -t)} \sqrt{\int_{0}^{t} f(s)^{2} \ ds \int_{t}^{1} f(s)^{2} \ ds} \leq \frac{1}{2} \frac{\int_{0}^{t} f(s)^{2} \ ds + \int_{t}^{1} f(s)^{2} \ ds}{2}\] d'où le résultat.

Merci beaucoup v_lentin, la solution est plus belle que je pensais je vais donc chercher la fin par moi même
Et @Dattier: sur la page wikipédia, on m'annonce que cette inégalité ne s'applique qu'aux fonctions dont l'intégrale est nulle, ce qui n'est pas le cas ici (sinon, ça aurait fait une majoration encore meilleure) mais merci du partage