des polynômes et des endomorphismes... Ouai le titre est nul... ;)

[Lucas Variant]

Salut, j'ai affaire à un exercice avec un endomorphisme sur un polynôme, j'aimerais vos avis, donc voici l'énoncé :
$ \text{Soit } E = \mathbb{R}_n[X].\\f : P\in \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \frac{X^2 - 1}{2}\cdot P'' - X\cdot P' + P $ (on fait comment la vraie flèche d'association avec la barre verticale ? ouai la flemme de chercher car je sais pas comment elle s'appelle )

bon, question de base : démontrer que c'est un endomorphisme, donner la matrice dans la base canonique dans le cas $ n = 3 $ puis... $ \text{Montrer que } f\text{ est un projecteur, déterminer son image et son noyeau.} $
(Le retour du bleu ) bon je sais qu'il suffit de montrer que $ f \circ f = f $ pour la projection, ça implique que $ f $ est le projecteur de $ E $ sur Im$ (f) $ parallèlement à Ker$ (f) $, mais j'ai un problème de méthodologie ?? Comment vous faites pour faire des calculs à rallonge comme $ f \circ f (P) $ sans vous planter ? perso j'y arrive pas ^^ Et aussi comment je sors le noyau et l'image ??????
$ n \geq 4\\ \text{4. Montrer que dim(Ker}(f)) \leq 2 \text{, en déduire que Ker}(f) = vect(X, 1+X^2) $
[color=#0000BF}(à force je connais par cœur le code de cette couleur :'D) là je sais pas trop comment faire, j'ai essayé d'écrire les conditions sur les polynômes du noyau, à savoir : le polynôme est le polynôme nul OU le le polynôme est est de degré strictement inférieur à deux d'où le premier terme est nul, donc il vérifie $ XP' = P \Rightarrow P = X \text{ ou } -X $ OU P vérifier $ f(p) = 0 $... EDL non linéaire à l'ordre 2... bon en vrai la deuxième moitié de la question hurle "$ 1+X^2 $ est solution de cette EDL" mais je vois pas comment en déduire que la dimension est inférieure à 2... peut-être car il n'y a que 2 "vraie" contraintes, le polynôme nul ne comptant pas ? et donc le noyau est une combinaison linéaire de ces 2 contraintes, donc vect(...) ????[/color]
$ \text{Montrer que }( f(1), f(X^3), f(X^4),..., f(X^n)) \text{est base de l'image.} $
(bon j'ai rien à dire sur le bleu -,-) alors j'ai d'abord pensé à la récurrence sur n, mais c'est pas possible en fait, car déjà pour commencer il manque des termes (nan c'est pas moi qui les ai oubliés). Du coup j'ai dit que c'est générateur, car il s'agit de sommer des polynômes,
et là dedans on tout les monômes de 0 à n car jusqu'à 4 je les ai calculés et ensuite de par la stucture de f, pour n supérieure à 4, on aura $ quelquechose +X^n $. pour la famille libre, j'ai voulu procéder par l'absurde en le faisant passer une combinaison linéaire égale à f(n)
dans f... mais comme f est un projecteur, bah du coup j'ai A=A, du coup bah je suis coincé... (en vrai j'ai changé de bleu, mais le fait qu'il y ait un truc noir entre les 2 fait qu'on voit presque pas la différence. )
$ \text{Soit } Q\in E\text{, Montrer que} Q\in Im(f) \Leftrightarrow Q'(1) = Q'(-1) = 0 $
J'ai calculé...(Nan j'décone je vais pas écrire en blanc quand même ^^) Je disait, j'ai écrit $ Q\in Im(f) \Leftrightarrow \exists P \in E, f(P) = Q $ j'ai dérivé Q et évalué en 0, j'ai plus qu'à conclure, mais comment ?? $ Q'(-1)=P(-1), Q'(1) = P(1) $

VOILA !! Merci d'avance

[bullquies]

mapsto pour la flèche pour que tu t'en souviennes, en anglais une "application de ... vers ..." c'est "mapping from ... to ...", d'où le "maps to"


$ x \mapsto x^2 $

[bullquies]

Pour démontrer que c'est un projecteur, tu peux calculer le carré de la matrice que tu as trouvé

Pour le noyau, soit tu résous l'équation polynomiale directement f(P) = 0, soit tu travaille sur la matrice (disons A) et pareil, tu résous A*V = 0, où V est vecteur qui a la bonne dimension. Après tout les polynômes que tu considères ne sont que des vecteurs dans l'espace que tu étudies. Ils ont des coordonnées dans la base canonique, donc si c'est plus facile de travailler sur des matrices que sur des polynômes, tu peux le faire !

[Karev]

Bonjour,

Quelques remarques:
1ère remarque:

Comment vous faites pour faire des calculs à rallonge comme $ f \circ f (P) $ sans vous planter ? perso j'y arrive pas ^^ Et aussi comment je sors le noyau et l'image ??????

Déjà il faudrait commencer par bien comprendre que ton expression que tu donnes de $ f $ par:

$ f : P\in \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \frac{X^2 - 1}{2}\cdot P'' -X\cdot P' + P $

n'a aucun sens. Par contre écrire: $ f : P\in \mathbb{R}_n[X] \mapsto Q \cdot P'' - R\cdot P' + P $ en a si l'on pose les polynômes $ Q $ et $ R $ tels que $ Q(X)=\frac{X^2 - 1}{2} $ et $ R(X)=X $.
En effet $ \frac{X^2 - 1}{2}\cdot P'' $ appartiendrait à quoi? Tu multiplies des choux par des carottes. $ P $ est ici un vecteur.

2 ème remarque: C'est assez normal que tu aies du mal à répondre aux trois dernières questions si tu n'as pas répondu à la première où on te demande de déterminer son image et son noyau.

3 ème remarque: Il y a plusieurs méthodes dans ton cours pour chercher le noyau et l'image d'un endomorphisme je suppose. Je te conseille bien-sûr de suivre les indications de bullquies.
Cependant pour le noyau, l'équation $ f(P)=0 $ est une équation d'inconnue $ P $ hein. On sait que $ P $ est de degré au plus $ n $. Donc tu sais développer l'écriture de $ P $ sous la forme $ P(X)=a_0 + a_1 X + .... + a_n X^n $. Plusieurs pistes s'offrent à toi: Remplacer cette expression dans l'équation $ f(P)=0 $ ou procéder comme la dit bullquies: matriciellement.

[Samuel.A]

C'est vraiment un projecteur ? Avec n quelconque ? Bizarre...

[bullquies]

non c'est pour n = 3

En tous cas c'est comme ça que j'ai compris l'exercice ?

[Samuel.A]

Oui c'est bon j'ai fini l'exercice c'est bien uniquement pour n=3 ^^

[jmctiti]

Bonjour,

Déjà il faudrait commencer par bien comprendre que ton expression que tu donnes de $ f $ par:

$ f : P\in \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \frac{X^2 - 1}{2}\cdot P'' -X\cdot P' + P $

n'a aucun sens. Par contre écrire: $ f : P\in \mathbb{R}_n[X] \mapsto Q \cdot P'' - R\cdot P' + P $ en a si l'on pose les polynômes $ Q $ et $ R $ tels que $ Q(X)=\frac{X^2 - 1}{2} $ et $ R(X)=X $.
En effet $ \frac{X^2 - 1}{2}\cdot P'' $ appartiendrait à quoi? Tu multiplies des choux par des carottes. $ P $ est ici un vecteur.

Bonjour

Désolé, mais l'ecriture de Lucas Variant est tout à fait correcte. On travaille ici avec des polynômes, et non pas avec des fonctions. Autrement dit, P et P (X) sont synonymes et peuvent être employés indifféremment, même si l'on peut penser qu'il est préférable de n'utiliser que des P (X) dès lors qu'il y a un X dans l'expression

[Karev]

Oui à condition d'assimiler les expressions en fonction de $ X $ comme étant des polynômes. Par exemple écrire $ XP $ n'est pas génant si l'on fait référence à $ X $ le polynôme et non la variable.

Je suis d'accord que c'est qu'un tout petit détail. Mais j'ai l'impression que l'auteur mélangeait les "endroits" où il devait remplacer $ P $ pour calculer $ f \circ f(P) $. D'où ma précision de bien comprendre quel élément joue quel rôle. Même si elle peut être superflue ici.

[Lucas Variant]

AH OUI ! J'ai oublié que j'ai une matrice, je me sens un con maintenant :'D
$ \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto \mapsto $OK j'arrête
bon bah calculerles le carré d'une matrice et résoudre un système avec cette matrice je sais faire sans problème :'D merci @Bullquies
Mais du coup calculs super long source d'erreur on les fait pas, c'est ça ? Si on y est confronté, on trouve un moyen de le contourner, car il y a forcément un moyen de le contourner ? ici la matrice... Trop bien les matrices
Effectivement @Dattier, j'aurai du y penser

Je ne me suis pas posé cette question @Karev... A vrai dire j'ai écrit comme il était écrit dans l'énoncé, et j'ai considéré les $ P $ comme des polynômes de la variable $ X $, de toute manière je ne sais pas dériver un vecteur... ou du moins pas en math, à moins que ce ne soit comme les vecteurs utilisés en physique avec les forces centrales ?? Enfin je ne pense pas que ce soit le plus important pour résoudre cet exercice, mais si tu penses que ça peut m'aider pour comprendre/progresser, je serai à l'avenir plus rigoureux dans mes notations en utilisant des P(X) comme le suggérait @jmctiti
Par rapport à ta deuxième remarque, comment déterminer le noyau du cas n=3 pourrait-il m'aider à conclure sur les dernière alors que les dimensions ne sont plus les même ? j'ai gribouillé 2-3 trucs avant de répondre pour essayer de trouver tout seul, mais rien
Enfin pour ta troisième remarque, je n'ai trouvé que 3 méthodes dans mon cour : résoudre f(x) = 0 par calcul "normal" ou matriciel (2) et le fait que Im(f) = Ker(f-ID) dans le cas d'une projection, bon j'ai oublié les 2 premières dans le cas n=3... alors que j'ai essayé de l'utiliser pour le cas $ geq $, quand à la dernière, je n'arrive pas encore à bien l'appliquer, je dois faire des exos m'obligeant à utiliser ça je pense ^^

Bon, je me ré-essaiera à cet exo demain car il est quand même minuit passé

Merci