integrale, forme différentielle, arcs parametrés

[mik2000]

bonjour a tous, dans les complements de calculs diff,
on a vu l'intégrale d une forme differentielle sur un arc mais je me pose une question essentielle.
Fixons le contexte du cours ( qui fait une ou deux pages ) :

soit w une forme diferentielle et s un arc parametré du plan ( donc une application d un segment de R a valeur dans R2)
et b une application bijective CROISSANTE d'un segment sur un autre ( bon je ne détaille pas mais je m adresse a ceux qui connaissent ce sujet... )
dans le cours, on definit l' integrale de w sur un arc parametré ( donc sur une fonction a valeurs vectorielles ! ca c'est important de le voir )

On demontre que l integrale sur s est egale a l integrale sur sob ( s composé avec b)
jusque la ca va.
et ensuite le prof dit que l'intrégrale depend uniquement de la géometrie ie du support de l 'arc... et la je bloque.

bref, l'intégrale peut etre vu comme l'integrale sur une "courbe orientée" comme on l'écrit en PHYSIQUE ( sans trop comprendre non ? bref.....)

pour fixer les idees, on nous donne a Paul et Rafael une forme differentielle, w , et une portion d'ellipse, parcouru dans un sens défini, d un point a un autre. et on nous demande de calculer l intégrale de w sur cette "courbe orientée". Paul a un parametrage s de cette courbe et Rafael un parametrage S de cette courbe.

Ma question est :
Doit on forcement avoir l existence d une application b , bijective,croissante, telle que s=Sob ? ( afin que les deux eleves calculent effectivement la meme chose ca me parait necessaire.....)

merci a tous !

[kakille]

$ $Bonjour,

"et ensuite le prof dit que l'intrégrale depend uniquement de la géometrie ie du support de l 'arc... et la je bloque."

M'est avis que ton prof veut juste dire que l'intégrale ne dépend pas du paramétrage du moment que ce dernier conserve l'orientation. C'est ce que dit le théorème de changement de variable.

Pour ta dernière question, la réponse est non : deux arcs paramétrés $ (I,f) $ et $ (J,g) $ de même classe $ C^{truc} $ ne sont pas nécessairement dans la même classe d'équivalence pour la $ C^{truc} $-relation d'équivalence "Il existe un difféomorphisme strictement croissant $ \theta $ de classe $ C^{truc} $ de $ I $ sur $ J $ tel que l'on ait $ f=g\circ \theta $." et ce même si $ f(I)=g(J) $.

Exemple : $ I=[0,2\pi] $ $ f(t)=(\cos(t),\sin(t)) $ et $ J=[0,2\pi] $ $ g(t)=(\cos(2t),\sin(2t)) $ ne sont pas $ C^1 $ équivalent (pourquoi ?).

D'ailleurs, ce qui s'appelle arc géométrique de classe $ C^{truc} $ est justement une classe pour cette relation. A l'intérieur d'une même classe, l'intégrale est constante. D'où la remarque de ton prof.

Quand il n'y a que deux classes, on dit qu'un arc est orientable.

[Zetary]

Edit : j’ai rien dit

[Zetary]

Tu aurais un exemple de deux arcs de même image et mêmes extrémités et d’une fonction définie sur cette image dont l’intégrale selon les deux arcs soit différente ?

[mik2000]

Bonjour,
alors dans votre 1ere exemple, le cercle est parcourue une fois ( dans le sens trigo ! ) alors que dans votre second exemple, le cercle est parcourue deux fois ! En physique, quand on fait une integrale sur le cercle, on le parcourt une seule fois au plus... donc on va integrer une forme diff w sur votre premiere fonction. Donc vous ne répondez pas tout a fait a ma question, moi je veux pouvoir bien definir l integrale sur une meme courbe orientée parcourue dans un sens fixé et une seule fois

car c est bien ce qu'on fait en physique, on calcule des integrales de formes differentielles sans jamais definir de paramatrage mais en définissant uniquement la courbe orientée... et la forme differentielle bien sur

[mik2000]

bref si la fonction de bijection n existait pas, les physiciens calculeraient des intégrales qui dependeraient du parametrage, ce qui me parait incoherent....

[kakille]

Bonjour,

je pense que mon contre-exemple se situe bien dans le contexte que tu indiques ici, puisque le cercle est parcouru dans le même sens avec mêmes extrémités :

pour fixer les idees, on nous donne a Paul et Rafael une forme differentielle, w , et une portion d'ellipse, parcouru dans un sens défini, d un point a un autre. et on nous demande de calculer l intégrale de w sur cette "courbe orientée". Paul a un parametrage s de cette courbe et Rafael un parametrage S de cette courbe.

Ma question est :
Doit on forcement avoir l existence d une application b , bijective,croissante, telle que s=Sob ? ( afin que les deux eleves calculent effectivement la meme chose ca me parait necessaire.....)

En particulier tu n'indiquais rien sur le nombre de fois où on fait le parcours. Je dis juste que ces deux arcs ne sont pas équivalents, ce qui répond bien à ta question je pense.

Là, tu demandes autre chose car jusqu'à présent tu ne parlais pas du nombre de fois où l'arc est parcouru:

moi je veux pouvoir bien definir l integrale sur une meme courbe orientée parcourue dans un sens fixé et une seule fois

Bref : tu veux quoi précisément :

1. Comprendre pourquoi une certaine notion d'intégrale est bien définie (à toi de donner la définition que tu as rencontrée) ?
2. Un contre-exemple répondant à un cahier des charges (à toi de fixer explicitement tes exigences) ?

[Zetary]

Tu aurais un exemple de deux arcs de même image et mêmes extrémités et d’une fonction définie sur cette image dont l’intégrale selon les deux arcs soit différente ?

je ne trouve toujours pas de réponse à cette question, quelqu’un aurait-il une idée ? (j’ajoute qu’implicitement dans ma définition d’arc l’intervalle de départ est toujours [0;1])

[kakille]

Tu prends l'indice de l'origine par rapport au cercle trigo parcouru une fois dans le sens direct et le cercle trigo parcouru une fois dans le sens indirect. Il s'agit bien d'intégrales.

[Zetary]

Ah en effet, merci !