Centre d'un groupe d'ordre 2^a 3^b

[Varzmir]

Bonjour,
Si l'on dispose de G, groupe fini de cardinal $ p^n $ où $ p $ est un nombre premier, il est connu que son centre est non trivial :
cela résulte de l'application de l'équation aux classes en faisant agir G sur lui-même par conjugaison.

Cependant, je me demandais si un groupe ayant "peu" de diviseurs premiers pouvait avoir un centre trivial ;
Je me pose la question pour les groupes de cardinal $ 2^a 3^b $, que j'utilise dans mon TIPE dans un résultat sur les groupes abéliens de cette forme ; Celui-ci pourrait éventuellement se généraliser à des groupes non abéliens à condition que j'arrive à prouver que le centre d'un tel groupe n'est jamais trivial ; l'équation aux classes semble ne pas suffire dans ce cas.

Quelqu'un connaît-il un résultat qui puisse infirmer ou confirmer cette conjecture ?
Merci d'avance

[Varzmir]

Je viens de réaliser que cette propriété est fausse : prendre G = $ S_3 $ groupe de cardinal 6 dont le centre est trivial.

[Naelvicoz]

Par curiosité tu trouves quoi comme propriétés sur ces groupes ? J'aime bien les groupes et les actions de groupe.

[Varzmir]

Par curiosité tu trouves quoi comme propriétés sur ces groupes ? J'aime bien les groupes et les actions de groupe.

Je fais de la théorie des corps, je travaille sur les polygones réguliers constructibles par origami ( qui permettent de résoudre des équations de degré 3 donc c'est plus fort que la règle et le compas qui s'arrêtent au degré 2). Ca demande d'introduire un peu de théorie de Galois, ce qui fait que je suis me retrouve à chercher une suite de sous groupes
$ \{e\} \subset G_1 \subset ... G_r = G $ tels que $ |G_{i+1}|/|G_i| \leq 3 $ où G est de cardinal $ 2^a 3^b $.

Dans le cas d'un groupe de cardinal une puissance de 2, on peut obtenir ce résultat (avec 2 à la place de 3) en trouvant un element x d'ordre 2 dans Z(G), puis en faisant une récurrence en quotientant G par {e, x}. Le problème c'est que le centre d'un groupe de cardinal $ 2^a 3^b $ est parfois trivial ce qui empêche de faire la même preuve. Le problème se contourne lorsque je travaille sur des groupes abéliens (ce qui est le cas quand je bidouille des polygones réguliers), mais j'avais envie de généraliser...

[Naelvicoz]

Ca a l'air sympas effectivement, pour ma part je fais aussi un TIPE de maths pures mais pour l'instant je n'ai pas d'autre chose que ce qu'on trouve dans un cours sur les actions et représentations de groupes. Heureusement qu'il me reste encore un an

[matmeca_mcf1]

Donc, vous voulez prouver qu'un groupe fini d'ordre $ 2^a3^b $ n'est jamais simple sauf lorsque $ 2^a3^b\in\{2,3\} $. Je ne suis pas allé très loin en algèbre: juste la L3 à Cachan. Je ne sais pas si le résultat est vrai.

Au delà du centre, les Sylow sont le premier outil qu'on introduit pour démontrer qu'un groupe ne peut pas être simple. Je ne pense pas qu'on puisse le faire uniquement avec les Sylow. Avec les Sylow, on traite pas mal de cas $ p^aq^b $ avec $ p,q $ premiers, $ p<q $ et $ a $ ou $ b $ petits.

Il y a un résultat difficile qui dit qu'un groupe d'ordre impair non premier n'est pas simple. Mais il parait que c'est dur à démontrer (je n'ai jamais lu la preuve). Ce qu'on démontre assez «facilement» avec les actions de groupes, c'est qu'un groupe d'ordre $ 2m $ avec $ m $ impair et différent de 1 n'est jamais simple.

Vous avez demandé à vos profs de prépa? Si cela se trouve, vos profs de prépa ont fait leur M2 en algèbre et leur thèse en théorie des groupes.

Vous pouvez lire le premier chapitre de Daniel Perrin, algèbre préparation à l'agrégation pendant vos vacances. Ou ce polycopié http://www.math.jussieu.fr/%7Ehindry/Cours-alg.pdf

[BobbyJoe]

@matmeca Le résultat que tu as annoncé est vrai... un tel groupe n'est jamais simple, ceci découle d'un théorème du à Burnside, corollaire de la théorie de la représentation linéaire des groupes (plus précisément ici de la connaissance des caractères).

[matmeca_mcf1]

Merci BobbyJoe. J'ai trouvé l'article original. Il est de 1904, https://books.google.fr/books?id=qAj_sgkzjvAC&pg=PA1085

Pour les réprésentations, la seule référence que je connaisse est le polycopié de Pierre Colmez https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... jAa8hvCG9L

[Zak_]

Wtf ça fait des origamis à ce que je vois lol j'ai exactement le même TIPE x) Et oui, ton résultat découle du théorème de Burnside puisque trouver ta chaîne équivaut à montrer que ton groupe est résoluble !

[Zak_]

Btw si tu fais les polygones réguliers, t'as une propriété simple sur les corps que tu manipules qui sont les corps cyclotomiques. Leur groupe de Galois est cyclique donc tu peux facile exhiber ta suite de sous-groupe en utilisant un générateur.