Exercice difficile

[talg19067]

Voila un exercice que j'ai vu dans les premiéres pages de la section exercice Mpsi:
Soit f et g continue de [0;1] dans [0;1] deux fonctions tel que f(g(x))=g(f(x)) mq f et g admettent un point fixe.
Solution:
Soit h=f(x)-x h(0)>0 et h(1)<0 donc f admet un point fixe que l'on note a.
On a f(a)=a donc f(g(a))=g(a) donc g(a) est point fixe,de facon analogue g^n(a)(composé n ieme) est aussi point fixe.
La suite g^n(a) est dans [0;1] d'après bolzano weierstrass
On extrait une sous suite de points fixe convergente vers un réel l tel que l=g(l) ce qui conclut(vu que f(l)=l l etant une composé n ieme de g(a)).

Cette solution est certe trés brouillon mais je ne vois pas comment faire autrement si quelqu'un peut m'aider

[Nabuco]

Voila un exercice que j'ai vu dans les premiéres pages de la section exercice Mpsi:
Soit f et g continue de [0;1] dans [0;1] deux fonctions tel que f(g(x))=g(f(x)) mq f et g admettent un point fixe.
Solution:
Soit h=f(x)-x h(0)>0 et h(1)<0 donc f admet un point fixe que l'on note a.
On a f(a)=a donc f(g(a))=g(a) donc g(a) est point fixe,de facon analogue g^n(a)(composé n ieme) est aussi point fixe.
La suite g^n(a) est dans [0;1] d'après bolzano weierstrass
On extrait une sous suite de points fixe convergente vers un réel l tel que l=g(l) ce qui conclut(vu que f(l)=l l etant une composé n ieme de g(a)).

Cette solution est certe trés brouillon mais je ne vois pas comment faire autrement si quelqu'un peut m'aider

Je crois que cet exo est faux : ce qui ne marche pas dans ton argument c'est qu'il n'y a pas de raison que g(l)=l (f(l)=l est trivial par continuité de f, mais imagine ta sous suite convergente c'est g^(2n)(a), alors tu peux pas tirer tellement plus que g^2(a)=a...)

[talg19067]

Oui mais si on note n' l indice de la sous suite on a Un'=g^n'(a)=g(g^n'-1(a))=g(Un'-1) or si une suite verifie Un=g(Un-1) il me semble qu on peut en deduire que sa limite l verifie g(l)=l (après je suis qu'en terminale donc pas familier avec les sous suites).

[Nabuco]

Oui mais si on note n' l indice de la sous suite on a Un'=g^n'(a)=g(g^n'-1(a))=g(Un'-1) or si une suite verifie Un=g(Un-1) il me semble qu on peut en deduire que sa limite l verifie g(l)=l (après je suis qu'en terminale donc pas familier avec les sous suites).

non là tu écris des choses très fausses parce que tu n'utilises pas les extractrices
si j'appelle t(n) l'extractrice on a si je récapitule ce que tu écris :
U(t(n))=g^(t(n))(a)=g^(t(n-1)+1)(a)=g(u(t(n-1))
En fait tu utilises implicitement que t(n)=t(n-1)+1 ce qui a peu de chance de se produire

[talg19067]

Je voyais plutot les choses comme ca
U(t(n))=g^(t(n))(a)=g(g^(t(n)-1)(a)) or avec n'=t(n) Un'-1=U(t(n)-1)=g^(t(n)-1)(a)
On aurait donc bien U(t(n))=g^U(t(n)-1) donc Un'=Un'-1

[Nabuco]

Je voyais plutot les choses comme ca
U(t(n))=g^(t(n))(a)=g(g^(t(n)-1)(a)) or avec n'=t(n) Un'-1=U(t(n)-1)=g^(t(n)-1)(a)
On aurait donc bien U(t(n))=g^U(t(n)-1) donc Un'=Un'-1

Déjà la notation n' est très mauvaise
Toi tu sais que U(t(n)) converge vers l. Aucune raison que U(t(n)-1) converge aussi vers l (typiquement prend l'exemple où t(n)=2n il n'y a pas de raison d'avoir autre chose que g^2(l)=l

[talg19067]

Merci pour l'explication j avais du mal a visualiser cette histoire d'extractrices.

[Mamoun1]

Le fameux exercice infaisable qui figure dans un bouquin de terminale .
La solution repose sur une manipulation d'inégalités et une récurrence puis un passage à la limite qui donne le résultat. Je rédigerai tout ca si personne ne s'y lance.

[Nabuco]

Le fameux exercice infaisable qui figure dans un bouquin de terminale .
La solution repose sur une manipulation d'inégalités et une récurrence puis un passage à la limite qui donne le résultat. Je rédigerai tout ca si personne ne s'y lance.

à priori il y a un lien qui d'article donnant deux fonctions commutant sans points fixes communs (http://www.ams.org/journals/tran/1969-1 ... 6331-5.pdf). Donc vas y je pense que tout le monde attend ta solution

[JeanN]

Il n’y a pas de telle solution.
Fin du fil. Merci de reprendre sur le fil des exos mpsi par exemple.