Bonjour,
je n'arrive pas a saisir les notions de dimension, de cardinal et de rang. (Surtout la différence entre ces notions)
Par exemple on prend v=(1,1,-1,2), u=(2,1,0,3) et w=(3,4,-3,-9)
Quelle est le cardinal et la dimension de la famille (u,v,w)?
Pour le rang j'ai trouvé 3 en faisant des opérations sur les colonnes de la matrice.
Merci pas avance
Algèbre linéaire, rang, dimension et cardinal
Re: Algèbre linéaire, rang, dimension et cardinal
La dimension d'une famille n'existe pas.
Par contre, la dimension de l'espace vectoriel engendré par une famille existe bien (c'est le rang de la famille et aussi le nombre de vecteurs lorsque cette famille est libre).
Par contre, la dimension de l'espace vectoriel engendré par une famille existe bien (c'est le rang de la famille et aussi le nombre de vecteurs lorsque cette famille est libre).
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Algèbre linéaire, rang, dimension et cardinal
Le cardinal d'une famille est la notion dont tu as l'habitude (le nombre d'éléments) : $ card(v_1,v_2,\cdots,v_n) := card(\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}) $
Une famille F est libre si toute combinaison linéaire finie nulle d'éléments de F est à coefficients nuls. Le contraire de "libre" est "liée".
Une famille F est génératrice de E si l'espace vectoriel qu'elle engendre (c'est-à-dire, l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de F) est égal à E.
Une famille F est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice de E. Dans ce cas, E est de dimension égale au cardinal de F.
Aussi, toutes les bases de E ont même dimension. Une famille libre est de cardinal inférieur ou égal à dim(E). Une famille génératrice est de cardinal supérieur ou égal à dim(E).
Le rang (et non "la dimension") d'une famille est la dimension de l'espace vectoriel qu'elle engendre. Une famille F de E est génératrice ssi rg(F) = dim(E) et elle est libre ssi rg(F) = card(F).
On appelle rang de l'application linéaire f le dimension de l'espace vectoriel $ Im(f) = \{f(x) | x\in E\} $. C'est aussi la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les colonnes (ou les lignes) de sa matrice dans une base. Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée, et est invariant par opérations élémentaires (échange ou combinaison linéaire de colonnes ou lignes, multiplication par un scalaire).
Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang.
Théorème du rang : dim(E) = rg(f) + dim(Ker f). En conséquence, un endomorphisme f est surjectif ssi Im f = E ssi rg(f) = dim(E) ssi dim(Ker f) = 0 ssi Ker(f) = {0} ssi f est injectif.
Une famille F est libre si toute combinaison linéaire finie nulle d'éléments de F est à coefficients nuls. Le contraire de "libre" est "liée".
Une famille F est génératrice de E si l'espace vectoriel qu'elle engendre (c'est-à-dire, l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de F) est égal à E.
Une famille F est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice de E. Dans ce cas, E est de dimension égale au cardinal de F.
Aussi, toutes les bases de E ont même dimension. Une famille libre est de cardinal inférieur ou égal à dim(E). Une famille génératrice est de cardinal supérieur ou égal à dim(E).
Le rang (et non "la dimension") d'une famille est la dimension de l'espace vectoriel qu'elle engendre. Une famille F de E est génératrice ssi rg(F) = dim(E) et elle est libre ssi rg(F) = card(F).
On appelle rang de l'application linéaire f le dimension de l'espace vectoriel $ Im(f) = \{f(x) | x\in E\} $. C'est aussi la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les colonnes (ou les lignes) de sa matrice dans une base. Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée, et est invariant par opérations élémentaires (échange ou combinaison linéaire de colonnes ou lignes, multiplication par un scalaire).
Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang.
Théorème du rang : dim(E) = rg(f) + dim(Ker f). En conséquence, un endomorphisme f est surjectif ssi Im f = E ssi rg(f) = dim(E) ssi dim(Ker f) = 0 ssi Ker(f) = {0} ssi f est injectif.