Bonjour,
Le résultat f continue <==> Ker(f) fermé est vrai pour des formes linéaires en dimension quelconque (j'ai pu le démontrer en montrant que l'image de la boule unité fermée est bornée).
Ce résultat reste-t-il vrai pour des fonctions linéaires quelconques sur un espace vectoriel E ? (pas forcément formes linéaires...)
f continue <==> Ker(f) fermé
Re: f continue <==> Ker(f) fermé
Bonsoir,
Non c'est faux. Prenons $ f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}[ X ]) : P \mapsto X\cdot P' $. Quelque soit la norme sur $ \mathbb{R}[X] $, $ f $ n'est pas continue (calculer $ \frac{\|f(X^n)\|}{\|X^n\|} $) et pourtant $ \mathrm{Ker}(f) = \mathbb{R}_0[X] $ (polynômes constants) est fermé car il est de dimension finie.
Non c'est faux. Prenons $ f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}[ X ]) : P \mapsto X\cdot P' $. Quelque soit la norme sur $ \mathbb{R}[X] $, $ f $ n'est pas continue (calculer $ \frac{\|f(X^n)\|}{\|X^n\|} $) et pourtant $ \mathrm{Ker}(f) = \mathbb{R}_0[X] $ (polynômes constants) est fermé car il est de dimension finie.