Système non linéaire

[ROH2F(x)]

Bonjour,
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Pouvez vous m'aider à résoudre le système suivant s'il vous plaît :

\begin{eqnarray}
\frac{X^{2}}{A} &=& X+Y \\
\frac{Y^{2}}{B} &=& X+Y
\end{eqnarray}

en $(X,Y)$.

[Errys]

Remarque que les membres de droites sont identiques donc tu dois avoir :
$$ BX^2 = AY^2 $$
Ensuite, il est intéressant d'étudier le signe de A et B avant de passer à la racine carrée.

[ROH2F(x)]

$ $
Hum... C'est cocasse ce système vient du calcul des points critiques
$$
- \log(X+Y) - \frac{A}{X} - \frac{B}{Y}
$$
Et je pensais que le maximum est unique.
(On a $A$, $B$, $X$ et $Y$ strictement positif).

[JeanN]

Une infinité de points critiques n'implique pas une infinité de maximum.

[alm]

@ROH2F(x): Puisque c'est ainsi, n'oublie pas, lors de la résolution du système, de tenir en compte la condition $ X+Y > 0 $

[ROH2F(x)]

Merci pour vos réponses.
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Je suis d'accord avec vous, dans la mesure de ce que je comprend. En suivant les conseils précédent je trouve comme solutions les couples $(X, X \sqrt{ \frac{B}{A} })$ ca voudrait dire une une infinité de point critique. Alors si je fais la méthode habituelle il faut regarder la hessienne en chaque point critique pour savoir de quelle nature sont les points critiques.
Ou j'ai une autre idée, ça peut marcher, je vais essayer d'évaluer la fonction sur les points critiques sur la demi droite $X(1, \sqrt{\frac{A}{B}})$ avec $X$ varie dans $]0;\infty[$.
J'obtiens un maximum pour $X = A + \sqrt{AB}$ donc au final mon maximum était bien atteint en unique point comme demandé :
$$
(\sqrt{AB} + A, \sqrt{AB}+B)
$$

[JeanN]

C'est ça. Tu as bien démontré que le max est atteint en un unique point (sous réserve d'existence tout de même).

[ROH2F(x)]

Je pensais que mon raisonnement montrer que :
$$
f(X,Y) \le f(\sqrt{AB}+ A, \sqrt{AB}+ B)
$$
En effet tout les maximums locaux donnent la même valeurs donc elle est globalement majorée.

[JeanN]

Tu confonds condition nécessaire et suffisante.
Être un point critique est nécessaire pour être un maximum puisque le domaine de définition est ouvert.
En revanche, ce n’est pas une condition suffisante.
Pour démontrer l’existence d’un max, tu peux commencer par étudier ta fonction aux bords de son domaine de définition.

[ROH2F(x)]

$ $
Ok j'ai du m'embrouiller. J'ai calculé les limites au bord comme vous m'avez demandé. Sur l'axe des $x$ privée de $(0,0)$ la limite est $-\infty$ tout comme sur l'axe des $y$ privé de $(0,0)$. Et en $(0,0)$ en passant au coordonnée polaire dans le premier quadrant du plan on trouve $-\infty$ aussi.
J'en déduis que la surface plonge vers les axes.

Mais je ne vois pas en quoi étudier le bord du domaine peut m'aider. par exemple le max de $\frac{1}{1+x^{2}}$ est en $0$.
Pouvez vous m'en dire plus ?