Musculation projection de vecteurs

[HenryDeNohr]

Bonjour à tous,
ci joint, un schéma d'un exercice classique en mécanique non galiléenne : un anneau qui se promène librement sur une circonférence en rotation pure. Je ne détail pas car il ne me pose pas de problème.
Non, le problème, c'est que je me suis honteusement lourdé quand j'ai voulu projeter le vecteur $ \overrightarrow{u_{\theta}} $ dans la base $ (O', \overrightarrow{u_{x'}}, \overrightarrow{u_{z'}} $).
ça fait 2 fois, à 2 mois d'intervalle, que je fait la même erreur, sur le même exercice. Je peux facilement rattraper le coup en projetant $ \overrightarrow{u_{r'}} $ dans cette même base (plus facile je trouve, mais je sais pas pourquoi) puis en rajoutant $ \frac{\Pi}{2} $ à $ \theta $, mais si je ne me rend pas compte que j'ai fait une erreur pendant le concours, je vais perdre des points bêtement !
D'où mon intervention ici : Auriez-vous de feuilles d'exercices qui traînent, avec des projection de ce calibre, histoire de m'y entraîner pendant 1 heure ou 2 ? je crois que c'est nécessaire. en lisant d'anciens rapport de concours, j'ai constaté que les jury ne tolèrent pas cette erreur.

Merci d'avance

L'image en question :

[fakbill]

Refaire N fois la même erreur ne changera rien.
Faire un dessin et, une fois la formule du projeté trouvée, TESTER si elle donne un résultat raisonnable pour un angle nul, pi/4 ou autre valeur simple mais pas trop.

Bref, comprendre pourquoi tu te plantes.

[HenryDeNohr]

Le dessin est fait à chaque fois, peut-être est-il mal fait ? C'est alors un énorme coup de chance que je trouve $ \overrightarrow{u_{r}} $ sur le même schéma sans me lourder. Je vais revérifier ça sur l'heure.
Et donc, les projections font parti de ce genre d'exercices qu'il est inutile de répéter pour s'entraîner ? c'est dommage, ça a plutôt bien marché, pour l'algèbre linéaire, de faire les 50000 exercices du TD les uns après les autres. :/ Enfin les 2 matières ne s'étudient pas de la même manière.

[Guillaume Rouy]

C'est alors un énorme coup de chance que je trouve $ \overrightarrow{u_{r}} $ sur le même schéma sans me lourder. Je vais revérifier ça sur l'heure.

Voici une technique qui marche à tous les coups, en raisonnant sur le schéma de l'énoncé. Tu dois probablement la connaître. Personnellement c'est grâce à cette technique que j'ai gagné du temps sur les projections :

Projection de $ \overrightarrow{u_{r}} $ :

SPOILER:

Pour $ \theta=0 $, on observe que $ \overrightarrow{u_{r}} $ est confondu avec $ -\overrightarrow{u_{z'}} $.
Pour $ \theta=\pi/2 $, on observe que $ \overrightarrow{u_{r}} $ est confondu avec $ \overrightarrow{u_{x'}} $.

On en déduit que la projection sur $ \overrightarrow{u_{z'}} $ vaut -1 en $ \theta=0 $ et 0 en $ \theta=\pi/2 $, c'est donc un $ - \cos \theta $.
De plus, la projection sur $ \overrightarrow{u_{x'}} $ vaut 0 en $ \theta=0 $ et 1 en $ \theta=\pi/2 $, c'est donc un $ \sin \theta $.
Finalement, on a :
$ \overrightarrow{u_{r}} = \sin \theta\ \overrightarrow{u_{x'}}- \cos \theta\ \overrightarrow{u_{z'}} $

Projection de $ \overrightarrow{u_{\theta}} $ :

SPOILER:

Pour $ \theta=0 $, on observe que $ \overrightarrow{u_{\theta}} $ est confondu avec $ \overrightarrow{u_{x'}} $.
Pour $ \theta=\pi/2 $, on observe que $ \overrightarrow{u_{\theta}} $ est confondu avec $ \overrightarrow{u_{z'}} $.

Ainsi, la projection sur $ \overrightarrow{u_{x'}} $ vaut 1 en $ \theta=0 $ et 0 en $ \theta=\pi/2 $, c'est donc un $ \cos \theta $.
De plus, la projection sur $ \overrightarrow{u_{z'}} $ vaut 0 en $ \theta=0 $ et 1 en $ \theta=\pi/2 $, c'est donc un $ \sin \theta $.
Finalement, on a :
$ \overrightarrow{u_{\theta}} = \cos \theta\ \overrightarrow{u_{x'}} + \sin \theta\ \overrightarrow{u_{z'}} $

On remarquera que les expressions conviennent pour $ \theta=\pi $. Cette technique, avec un peu d'entrainement, permet de projeter en moins de 5 secondes. Il suffit de bien connaitre son cercle trigo et de savoir faire bouger le schéma dans sa tête. Ça peut aussi aider quand il y a plusieurs angles, en annulant certains et pas d'autres.

Et donc, les projections font parti de ce genre d'exercices qu'il est inutile de répéter pour s'entraîner ?

En sup, notre prof nous a dit que pour nous entraîner, il suffisait de créer nous-mêmes les schémas en mettant des angles à une place différente à chaque fois. Tu peux réessayer de refaire les mêmes projections en introduisant l'angle $ \varphi $ entre $ \overrightarrow{u_{x}} $ et $ \overrightarrow{u_{x'}} $, et en projetant tous les vecteurs dans chacune des bases possibles... Tu peux ensuite déplacer l'angle $ \theta $, ou même changer la géométrie...

Bon courage. Mais je préviens tout de suite, c'est pas fun fun.

[fakbill]

bah ça revient à ce qu'on dit toujours : tester sur des valeurs simples si ce qu'on raconte marche.