question raisonnement par l'absurde

[Porus]

Bonjour,

Je suis un futur PSI et je revoyais le cours de maths pour préparer la spé.

Dans un mini ch sur les implications et les équivalences logiques j'ai un exo tout bête, je voulais savoir ce qui ne va pas dans mon raisonnement

énoncé : "soit x un réel, montre que : x>=1 ==> x^2>=1"

un raisonnement direct passe en élevant au carré mais en le faisant par l'absurde j'ai dit :
"soit x un réel, supposons x>=1 et x^2<=1"
ensuite j'ai posé un x=2 par exemple mais c'est là que j'ai doute pcq je pense j'ai pas le droit de poser un x puisqu'on considère dans l'énoncé un x particulier avec "soit x" et pas un x quelconque qui serait indiqué par un "pour tout x"...
c'est bien ça le souci non ?

sinon évidemment tjrs par l'absurde on a x^2>=1 càd -1<x<1 or par hypothèse de départ on a x>1 donc c'est absurde et on obtient ce qu'on voulait...

voilà c'est tout bête mais je préfère vous demander étant pas sûr de moi
merci

[Blackballoon]

tu dois supposer x>=1 et x^2<1 (inégalité stricte)
Si x^2=0 absurde
Sinon:
x^2<1==>x<1 (stricte croissance de la fonction racine carré sur R+*) absurde
prendre x=2 n'a pas de sens, tu dois montrer ton resultat pour tout x pas pour x=2 uniquement

edit: ma disjonction de cas est inutile, la fonction racine est stct croissance sur R+^^

[Porus]

oui mais n'empêche qu'en prenant x=2 je montre que la proposition est fausse, je vois ça un peu comme un contre exemple

[Cyjik]

Non non c'est faux ,t'as juste montrer qu'il existe un x tq la propriété(celle que t'as supposer par l'absurde ) est fausse et donc que le résultat de départ est vraie pour au moins un x,ca ne te permet évidemment pas de conclure que le résultats de départ est vraie pour tt x.

[Porus]

ah ouiii j'avoue
merci à vous deux c'est clair

[Ali_J]

En fait, par définition de l'implication, l'assertion "$ x\geq 1 \implies x^2 \geq 1 $" est vraie si et seulement si l'assertion: "$ x < 1 $ ou $ x^2 \geq 1 $" est vraie.
Tu vois bien que la valeur de vérité de cette assertion dépend à priori de la valeur de $ x $. On note donc naturellement cette assertion $ P(x) $ pour exprimer sa dépendance en x. L'énoncé te demande de montrer que $ P(x) $ est vraie quelque soit la valeur de x. Un raisonnement par l'absurde serait donc de supposer l'existence d'un réel x tel que $ P(x) $ soit fausse: mais tu n'as évidemment pas le droit de choisir une valeur de x. Dans ton cas tu as simplement prouvé que $ P(2) $ est vraie.

[fakbill]

Oui voila
C'est un problème de logique classique chez le taupin
Tu as une implication. il faut déjà bien comprendre ce qu'est une implication.
Ensuite il faut savoir nier une implication. Nier le fait que A implique B, qu'est ce?

énoncé : "soit x un réel, montre que : x>=1 ==> x^2>=1"

Commencer par quantifier ça proprement.
Comprendre aussi que "nier un "pour tout", c'est trouver un "il existe" (contre exemple).

Voila c'est le même message mais dit autrement.

[Feedback]

Dire que la logique était enseignée en seconde C à une époque. Je n'arrive toujours pas à comprendre que cela ait disparu des programmes de lycée en tant que chapitre à part entière.

[JeanN]

Dire que la logique était enseignée en seconde C à une époque. Je n'arrive toujours pas à comprendre que cela ait disparu des programmes de lycée en tant que chapitre à part entière.

Qu'est-ce que j'aimerais que mes élèves maitrisent la dernière page du programme officiel de seconde...
http://media.education.gouv.fr/file/30/ ... _65523.pdf

[Porus]

Ensuite il faut savoir nier une implication. Nier le fait que A implique B, qu'est ce?

eh bien nier "A implique B" ça revient à avoir "A et non(B)"