Calcul d'une somme

[Ali_J]

Voici un petit exo (dont je n'ai pas le corrigé):
Soit n un entier naturel non nul et $ N_n=\{1,2,..,n\} $
Calculer $ A_n=\sum\limits_{(X,Y) \in \mathbb{P}(N_n) \times \mathbb{P}(N_n)}card(X\cap Y) $.
Voici le résultat que je trouve (si vous voulez comparer)

SPOILER:

$ A_n=n4^{n-1} $

[versionpatch]

Pour une partie $X \subset N_{n}$, il existe exactement $3^{n-|X|}$ couples de parties de $N_{n}$ dont l'intersection est $X$. Ceci ce voit en remarquant que $A \cap B = X \iff \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{X}$ donc un élement de $\overline{X}$ est soit dans $\overline{A}$, dans $\overline{B}$ ou dans les deux (d'ou vient le 3). Il suffit aprés de faire la somme :
$$ \sum_{X \subset N_{n}} |X|3^{n-|X|} = \sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}3^{n-k} = n4^{n-1} $$

[Calli]

Bonjour,
Voici une preuve probabiliste. Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $N_n$. Alors $$\begin{eqnarray*}
A_n &=& \sum\limits_{X,Y\subset N_n} n\,\Pr(U\in X\cap Y) \\
&=& \sum\limits_{X,Y\subset N_n} n\,\Bbb E({\bf 1}_{U\in X\cap Y}) \\
&=& n\, \Bbb E\left[\sum\limits_{X,Y\subset N_n} {\bf 1}_{U\in X} {\bf 1}_{U\in Y} \right] \\
&=& n\, \Bbb E\left[ \left( \sum\limits_{X\subset N_n} {\bf 1}_{U\in X} \right) ^2\right] \\
&=& n\, \Bbb E\left[ (2^{n-1}) ^2\right] \\
&=& n\,4^{n-1}
\end{eqnarray*}$$