Le corps d'un espace vectoriel normé

[Fromhktosun]

Salut

Je commence à m'avancer sur la topologie pour la spé et je me pose une question. Pourquoi est-ce que dans le cadre des espaces vectoriels normés, on se restreint à définir la norme sur un $ \mathbf K $-espace vectoriel avec $ \mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\} $ ? Est-ce une limitation du programme ou est-ce qu'il y a une raison topologique ? Je dis ça parce que dans le reste du cours où on traite des espaces vectoriels, par exemple en algèbre linéaire, on se place plus généralement sur un espace vectoriel sur un corps commutatif quelconque (il peut en particulier être fini).

J'ai regardé sur des vieux livres de prépa et ils font pareil donc je ne pense pas que ce soit spécifiquement lié au programme mais je demande quand même à tout hasard.

[Hibiscus]

Bah, faut qu'il soit defini sur un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret.

Ya deja pas tant de choses qui marchent, et qui ont des applications a l'echelle prepa, a part reels et complexes. (les autres corps commutatifs abordables en prepa seraient rationnels, et (ℤ/pℤ,+,×) pour les tordus, mais comme ils ne satisfont pas "non discret"..)

[Ali_J]

Salut

Je commence à m'avancer sur la topologie pour la spé et je me pose une question. Pourquoi est-ce que dans le cadre des espaces vectoriels normés, on se restreint à définir la norme sur un $ \mathbf K $-espace vectoriel avec $ \mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\} $ ? Est-ce une limitation du programme ou est-ce qu'il y a une raison topologique ? Je dis ça parce que dans le reste du cours où on traite des espaces vectoriels, par exemple en algèbre linéaire, on se place plus généralement sur un espace vectoriel sur un corps commutatif quelconque (il peut en particulier être fini).

J'ai regardé sur des vieux livres de prépa et ils font pareil donc je ne pense pas que ce soit spécifiquement lié au programme mais je demande quand même à tout hasard.

Salut,
D'abord apposer commutatif à corps est désormais une redondance.
Depuis quelques temps la définition d'un corps a été changée pour y inclure la commutativité, c'est à dire que si (K,+,x) est un corps alors la deuxième loi est commutative.
Une norme doit satisfaire une condition d'homogénéité, ie:
$ ||ax||=|a|||x|| $ pour tout a dans K et x dans E.
Tu vois qu'on a besoin de la valeur absolue/module pour que cette propriété ait un sens qui n'existe pas à priori dans d'autres corps que R ou C.
Il se trouve que la notion de valeur absolue peut se généraliser à d'autres corps que R ou C (on parle de corps valués) mais ça sort largement du programme de prépa.
Dans Z/pZ tu vois déjà que c'est compliqué de définir une valeur absolue (càd une application de Z/pZ vers R+ qui vérifie les mêmes 3 propriétés qu'une norme: séparation, inégalité triangulaire, |xy|=|x||y|.). Si tu essaies naïvement d'associer à chaque classe son unique représentant qui est entre 0 et p-1, tu remarqueras que la propriété |xy|=|x||y| est violée pour x=y=classe(p-1) par exemple.
Généralement si K est fini, il existe une et une seule valeur absolue sur K. Si il en existe une, on aurait |1_K|=1 et en plus en notant n le cardinal de K, on a pour tout x dans K* $ x^{n-1}=1_K $ donc$ |x|=1 $.
Au final $ |x|=1_{x \neq 0} $ et on vérifie réciproquement que cette application est bien une valeur absolue.

[darkpatric]

Bonjour,
J’ai vu que sur un coprs valué la topologie discrète est nécessairement engendrée par la valeur absolue triviale qui précédé

D’autre part les normes ne sont pas définies sur les espaces vectoriel avec un coprs discret

D'un coté, je comprend que l’intérêt d’un tel truc sera rapidement limite mais je n’arrive pas a voir en quoi c’est un problème au point de ne pas vouloir le définir. Est-ce que vous pourriez m'éclairer?

[Ali_J]

Bonjour,
J'ai pas vraiment de réponse rigoureuse à ta question.
Intuitivement, je vois un élément d'un espace vectoriel sur un corps fini, comme la suite (finie ou infinie) de ses coordonnées.
Comme on est sur un corps fini, chaque coordonnée ne prend qu'un nombre fini de valeurs, et dès lors ça n'a pas grand intérêt de parler de convergence, car une suite à valeurs dans un ensemble fini converge si et seulement si elle stationne à partir d'un certain rang.

[darkpatric]

Je comprend que munir un espace de la topologie discrète n'est pas ce qu'il y a de plus intéressant à faire en topologie mais bon je n'ai pas l'impression que ce soit un argument pour ne pas définir les choses.

[Fromhktosun]

Merci pour ces réponses intéressantes. Je me suis posé la même question que darkpatric et je ne comprends pas non plus cette restriction. En général on n'exclut pas des définitions des choses selon leur utilité, ce concept étant purement subjectif.

[JeanN]

En général, les restrictions sont faites pour unifier les propriétés et ne pas avoir à trainer des cas particuliers partout. Faut pas y chercher de la mauvaise volonté

[darkpatric]

je concède que ma formulation n'est pas la plus adroite mais justement ce qui me pose problème c'est que je ne vois pas quels sont les cas particuliers que l'on va se trainer

Je ne vois pas vraiment (sauf si je n'ai pas les yeux en face des trous, ce qui est possible ) de propriété usuelles des espace vectoriels normé que l'on ne pourrait pas retrouver sur un Z/2Z espace vectoriel

[V@J]

L'existence d'epsilon arbitrairement petits ou arbitrairement grands ? Bref, les mécanismes sont très différents, donc on ne traite que les cas auxquels on est habitué.

Sinon, tu aurais pu commencer par t'intéresser au cas du corps des nombres rationnels, qui a lui aussi ses petits défauts...