Sens concret d'un DL en un point non défini

[Tippekks22]

Bonjour tout le monde,

Je suis sur un exercice de maths où il faut effectuer le développement limité d'ordre 2 en 0 de $ g(x) = \frac {x}{e^x -1} $. On constate que la fonction n'est pas définie en 0 mais on peut par définition faire son développement en tant que qu'il a un intervalle de définition centré en 0 il me semble.
J'ai donc trouvé : $ 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + o(x^2) $

Voilà mon souci : on me demande d'en tirer des conclusions sur g en 0 : sa continuité, dérivabilité, l'existence de g''(0) et l'allure du graphe. Je sais qu'on peut connaître la position par rapport à sa tangente en ce point avec un équivalent de $ g(x) - g(0) - g'(0)x $ en temps normal. Mais lorsqu'elle n'est pas définie en ce point, peut-on parler de continuité et dérivabilité de la fonction g ainsi qu'une existence de g''(0) ? Ou est-ce que cela concerne son prolongement par continuité en 0 qui vérifie lui la dérivabilité la continuité en 0 et 1/12 pour g''(0) par Taylor-Young? Ça m'embête un peu, d'autant plus que c'est quelques questions plus tard qu'il faut montrer que la fonction est prolongeable en une fonction de classe $ C^1 $ et donc qu'on introduirait ce fameux prolongement par continuité.

Qu'en pensez-vous ? Pouvez-vous m'éclairer sur le développement limité en un point non défini s'il vous plaît ?

Merci d'avance !

[Ali_J]

La question est mal posée en tant que telle.
Il faut prolonger g en 0 en posant $ g(0)=1 $ pour que ça marche.
" on peut par définition faire son développement en tant que qu'il a un intervalle de définition centré en 0 il me semble.":
Cela n'est pas vrai.
Une fonction peut être continue en tout voisinage de 0 (privé de 0) sans être continue en 0 et donc ne pourra admettre de DL en 0.
Voici un exemple de telle fonction:

SPOILER:

$ f(x)=sin\frac{1}{x} $

[Tippekks22]

La question est mal posée en tant que telle.
Il faut prolonger g en 0 en posant $ g(0)=1 $ pour que ça marche.
" on peut par définition faire son développement en tant que qu'il a un intervalle de définition centré en 0 il me semble.":
Cela n'est pas vrai.
Une fonction peut être continue en tout voisinage de 0 (privé de 0) sans être continue en 0 et donc ne pourra admettre de DL en 0.
Voici un exemple de telle fonction:

SPOILER:

$ f(x)=sin\frac{1}{x} $

Merci de votre réponse ! Je me suis mal exprimé je voulais dire qu'il était possible qu'une fonction non définie en 0 ait un développement limité (d'après mon cours on peut dire qu'une fonction f définie sur]$ x_0 -h, x_0 + h $[\$ {x_0} \rightarrow K $ avec éventuellement $ x_0 $ exclu peut avoir un développement limité en x0 (en respectant les conditions nécessaires à un développement limité)).
Et donc concernant l'exercice, il faut donc bel et bien parler du prolongement de la fonction même si le prolongement n'est introduit dans l'exercice que plus tard sinon ce n'est pas correct ?

[Simon Billouet]

Oui. Mais l'abus est souvent fait.

[Tippekks22]

Merci beaucoup !