Matrice et permutations

[Phil67]

Je n'arrive vraiment pas à trouver une idée pour résoudre cet exercice:
Soit $\sigma \in S_{n}$ une permutation, et A une matrice n x n.
On exprime A à l'aide des colonnes de A $\left ( C_{1}...C_{n}\right ) $.
Soit B = $\left ( C_{\sigma _{1}}...C_{\sigma _{n}} \right )$
Quelle est la relation entre det A et det B?
$A= \left ( a_{ij} \right )_{ij}$ et $C= \left ( c_{ij} \right )_{ij}$ avec $c_{ij}=a_{\sigma _{(i)}\sigma _{(j)}}$ pour tout i,j = 1,..,n. Quelle est la relation entre det A et det C?
Merci beaucoup pour votre aide.

[JeanN]

Considère une matrice numérique (pas trop compliquée, de déterminant non nul et de taille 3*3).
Fais les différents calculs demandés d'abord lorsque sigma est la transposition (1,3) puis le 3-cycle (2,1,3).
Essaye d'en déduire une conjecture plus générale puis de la démontrer.

[Beatboxer]

Ma première idée serait d'exprimer $B$ en fonction de $A$ et de la matrice de permutation. Il s'agirait alors de calculer le déterminant d'une transposition

[JeanN]

N'hésitez pas à laisser un peu réfléchir l'OP !
Ce n'est pas son intérêt que de lui offrir une solution toute faite sur cet exercice élémentaire mais intéressant pour consolider certaines propriétés du déterminant.

[Phil67]

Merci pour vos réponse.
Pour la première question, il semblerait que det B = $\left ( -1 \right )^{\varepsilon (\sigma )}$ det A,
mais je ne sais pas trop comment faire pour le démontrer...

[JeanN]

Que vaut (-1)^1 pour toi ? Et (-1)^(-1) ?
Es-tu sûr de ta conjecture ?

Pour démontrer le bon résultat tu peux chercher à utiliser une propriété du déterminant vu comme fonction des colonnes.

[Phil67]

Le déterminant est une application antisymétrique, et par définition d'une application f antisymétrique :
On a : ∀σ∈Sn,∀C1,...Cn∈E,f(Cσ(1),Cσ(2),...Cσ(n))=ϵ(σ)f(C1,...,Cn).
Est-ce suffisant, pour la première question ou suis-je à côté de la plaque ?
Merci pour votre réponse.

[Phil67]

det B = signature de sigma x det A

[JeanN]

oui, c'est correct.

[Phil67]

Je pense avoir compris, il s'agit d'une permutation sur les colonnes de A pour obtenir B, puis une permutation sur les lignes de B pour obtenir C :
bij=aiσ(j)
cij=aσ(i)σ(j)

Du coup detC=ε(σ)×ε(σ)×detA=detA.

Merci beaucoup pour avoir pris le temps de me répondre.