Le problème avec la démonstration "blague" du théorème de Cayley Hamilton

[Calili10]

Salut !

En prépa, des fois, certains faisaient la blague suivante avec la démonstration du théorème de Cayley Hamilton : si P(X) = det(XI - A) alors en remplaçant X par A on obtient trivialement P(A) = 0

Alors voilà, quelques années après, je viens ici pour dire que je vois que ce n'est pas acceptable car, par exemple, la nature de det(AI - A) est un nombre réél/complexe

mais je ne comprends pas pourquoi, ça me rend fou. Je m'explique :

Si j'écris P(X) = det(XI - A) = somme des a_i*(X^i)

comme c'est une égalité, je ne vois pas à quel moment il se passe le truc magique pour qu'on passe d'un scalaire à une matrice...

bref, j'ai vraiment du mal à expliquer là où ça coince, mais je pense que vous voyez à peu près

[Tamador195]

voici ce qu’il me semble :

Lorsque l’on écrit χA(X)= Σai*X^i, on a bien en substituant l’indéterminée à la matrice A (licite car élément d’une K-Algèbre) χA(A)= Σai*A^i.

Néanmoins, cette quantité n’est pas égale à det(truc) qui est un scalaire!

Il y a une notion de temporalité : il faut d’abord écrire χA(X) sous forme développée puis substituer... est-ce clair ?

[Calili10]

C'est aussi comme ça que je le prenais en prépa, mais faut avouer que c'est incomplet.

Quand il y'a une égalité entre termes, l'ordre d'évaluation n'a pas aucune incidence.

Perso j'ai une piste : det(XI -A) n'est pas la fonction déterminant telle que l'on a connaît en sup, c'est une version ameliorée et on n'a pas le tps de parler de ce genre de trucs en prépa, je pense.

[JeanN]

Pour calculer det(A-X I_n), tu calcules le déterminant d'une matrice dont tu soustrais aux coefficients diagonaux l'indéterminée X.
Ca a un sens par exemple de considérer que tous les coefficients vivent dans K(X).
Maintenant, si tu remplaces X par la matrice A ou n'importe quelle matrice M, tu te retrouves avec une matrice dont tu as soustrait aux coefficients diagonaux (qui sont des scalaires) une matrice (qui n'est pas un scalaire) donc un sérieux problème d'homogénéité.
On est alors très très loin de la matrice nulle attendue

[certus]

Pourtant A - XI = A - A.I = A - A =0

[JeanN]

Quand on écris A-A=0, on soustrait à tous les coefficients de A les coefficients de A...
Rien à voir avec A - X I_n qui demande de soustraire aux coefficients diagonaux de A uniquement l'indéterminée X (à laquelle on peut par exemple substituer un scalaire mais pas une matrice pour des questions d'homogénéité).

[V@J]

Tu peux aussi regarder les différences avec ce qui se passe quand on considère le polynôme Q(X) = tr(X I-A), qui s'annulerait formellement si on remplaçait X par A mais n'est certainement pas un polynôme annulateur de la matrice A (sauf si celle-ci est une homothétie).