suite dont la série des puissances somme à 1/k^2

[Mourien]

Bonjour,

Je cherche l'énoncé suivant ;

Exsite-t-il $ (a_n)\in\mathbb R^{\mathbb N} $ tel que pour tout $k\ge 1, \displaystyle \sum_{n\ge 0} a_n^k=\dfrac 1{k^2}$ ?

J'ai pensé à $\zeta(2)$, on a en sommant par paquets (qui se justifie avec du travail) : $\displaystyle\sum_{n\ge 0} \dfrac{a_n}{1-a_n}=\zeta(2)$
Or $\zeta(2)>1$ alors que $\frac{a_n}{1-a_n}\sim a_n$ mais cela n'apporte tout de même pas de contradiction...

J'ai aussi pensé à l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur les suites de carré sommable qui donne : $\displaystyle(\sum_{n\ge 0} a_n^{k+l})^2 \le \sum_{n\ge 0} a_n^{2k}\sum_{n\ge 0} a_n^{2l}$ puis $\dfrac 1{(k+l)^4}\le \dfrac 1{(4kl)^2}$
Cependant il n'y a pas de contradiction à en tirer car cette inégalité est vraie pour $k,l\ge 1$

Je ne vois donc pas trop pourquoi il n'existerait pas une telle suite. Cependant, ce serait trop beau pour être vrai ?

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance

[Calli]

Bonjour,
Soient $ m = \max_{n\in\Bbb N} |a_n| $ et $p = \mathrm{card}(\{n\in\Bbb N \mid |a_n|=m\})$. Essaie de montrer que $\sum_{n\in\Bbb N} a_n^{2k} \sim pm^{2k}$ quand $k\to\infty$. (Je regarde le rang $2k$ pour avoir des $a_n^{2k}$ positifs ; c'est plus pratique.)

[Mourien]

Remarquons que $p<\infty$. On a :

$\dfrac 1{pm^{2k} }\displaystyle\sum_{n\ge 0} a_n^{2k}=1+ \sum_{|a_n|<m} \frac {a_n} {pm} ^{2k}$

On se donne ensuite $\varepsilon>0,N$ tel que $\displaystyle \sum_{n\ge N} \dfrac{a_n} {m}^{2k} \le \sum_{n\ge N} \dfrac{a_n}m ^2 \le \varepsilon$ comme reste d'une série convergente.

Ensuite les $\le N$ termes de la somme de droite tendent vers $0$ (géométrique de raison $<1$).

Finalement on a l'équivalent désiré.

Il suit $pm^{2k}\sim \dfrac 1{4k^2}$ absurde.

Merci de ton aide Calli !

[Calli]

Ça marche . Mais n'oublie pas de mettre des parenthèses autour des fractions que tu élèves à une puissance.

[V@J]

Bonjour,

Une autre manière de procéder, peut-être plus simple, est la suivante :
- s'il existe un terme $a_\ell$ tel que $|a_\ell| > 1/2$, alors $$\sum_{n \geqslant 0} a_n^2 \geqslant a_\ell^2 > 1/2^2,$$ donc la suite $(a_n)_{n \geqslant 0}$ ne convient pas ;
- sinon, on constate que
$$\sum_{n \geqslant 0} a_n^6 \leqslant \sum_{n \geqslant 0} a_n^2 / 2^4 = 1 / (2^2 \times 2^4) < 1/6^2,$$
donc la suite $(a_n)_{n \geqslant 0}$ ne convient pas non plus.

[Mourien]

Très élégant !