Exercice probabilité

[lamdba]

Bonjour
Je bloque sur cet exo de probabilité, je suis à la recherche d’un indice ou d’une aide svp.

Soient n,m deux entiers positifs. On lance k fois un dé à m faces numérotées de 1 à m.
Quelle est la probabilité que la somme des tirages soit égale à n.

Merci

[JeanN]

Quel est le contexte de cet exo ? Peux-tu envoyer une photo de l'énoncé complet ?

[lamdba]

Il n y a pas de contexte, visiblement l’exo a été posé comme ça. (Oral X PC 2019)
Et l’énoncé est complet (comment envoyer une photo si vous voulez vous en assurer ?)

[JeanN]

En gros, on te demande la loi d'une somme de k variables aléatoires iid qui suivent une loi uniforme sur [1,m].
As-tu essayé avec les fonctions génératrices ?

[lamdba]

Oui merci beaucoup !

Si on note Xi la variable aléatoire qui donne le résultat du ième tirage, on a que les Xi suivent la loi uniforme sur [1,m], et elles sont mutuellement indépendantes. Posons alors Sk = la somme des Xi pour i allant de 1 à k. On cherche alors P(Sk=n).
Pour cela on a la fonction génératrice de Sk qui est le produit de celle des Xi et comme elles suivent toutes la même loi c'est (Gxi(t))^k . Donc la fonction génératrice de Sk est

(t/m)^k x ((1-t^m)/(1-t))^k.

il me reste à déterminer le coefficient devant t^n. J'ai pensé à développer 1/(1-t)^k en série entière et (1-t^m)^k en binôme de Newton mais le problème c'est que j'obtient une formule assez lourde et que je n'arrive pas à justifier le passage pour intervertir la somme infinie et la somme finie.

[oty20]

On pourrait aussi le voir comme essentiellement un exercice de dénombrement.

Soit $$(m_{1},...,m_{k})\in \{1,2,....,m\}^{k}~~\text{k-uplet,}~~m_{i}~~\text{le numero obtenu au i-eme lancé}$$

Il s'agit dénombrer les k-uplet tels que; $$\sum_{i=1}^{k} m_{i}=n$$

Qui est un problème assez classique.

[Mourien]

Cela me semble difficile avec la condition $ \le m $ ...

Si l'on note $N_{n,k}$ le nombre de $k$-uplets d'entiers naturels de somme égale à $n$, on peut établir que

SPOILER:

$N_{n,k}=\dbinom{n+k-1}n$

Si l'on note $N_{n,k,\le m}$ le nombre de $k$-uplets d'entiers naturels inférieurs à $m$ de somme égale à $n$, je n'ai pas mieux que

SPOILER:

avec la formule du crible : $N_{n,k,\le m}= N_{n,k}-\displaystyle \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1}\binom ki \underbrace{N_{n,k,>_i m}}_{N_{n-i(m+1),k}}=\sum_{i=0}^k (-1)^i \binom ki \binom {n-i(m+1)+k-1}{n-i(m+1)}$

où la notation $N_{n,k,>_i m}$ désigne le nombre de $k$-uplets de somme $n$ avec les $i$ premiers termes $>m$, et les autres quelconques (positifs).

Cette somme se simplifie-t-elle ?

Aurais-tu la gentillesse de me conseiller une référence oty20 ?


NB: dans cet exercice la proba cherchée est donc $\dfrac{N_{n-k,k,\le m-1}}{m^k}$ : il faut faire attention au fait que les $m_i$ sont $\ge 1$.

[lamdba]

Ok merci beaucoup Mourien et Oty pour votre aide.

Mourien, ce qui est recherché ce n'est pas plutôt $ \frac{N_{n,k, \le m}}{m^k} $ ?

Sinon vous auriez des pistes pour conclure ma première méthode avec les fonctions génératrices ?

[Mourien]

Dans ma définition de $N_{n,k}$ et $N_{n,k,\le m}$, pour ne pas m'embêter, je considère les $k$-uplets d'entiers positifs ou nuls .

Comme il n'y a pas de zéro sur le dé, on se ramène à des $k$-uplets d'entiers $>0$ par la bijection :

$$\{(m_1,\dots,m_k)\in[\![1,m]\!]^k : m_1+\dots+m_k=n\}\longrightarrow \{(m_1,...,m_k)\in[\![0,m-1]\!]^k : m_1+\dots+m_k=n-k\}$$
$$ (m_1,\dots,m_k)\longmapsto (m_1-1,\dots,m_k-1)$$

[JeanN]

Je doute que tu aies mieux que "le coeff devant t^n de la série entière qui va bien".