Polynôme

[Nathgori]

Salut, je pense qu'il y a une erreur dans mon cours à moins que je passe à côté d'un truc : si $ P $ est un polynôme de $ \mathbb K[X] $ avec $ \mathbb K $ corps, est-il équivalent de dire que :
1) $ P $ n'est pas le produit de deux polynômes de degrés strictement inférieurs à celui de $ P $.
2) $ P $ n'est pas constant et $ P $ n'est pas le produit de deux polynômes non constants.

Parce qu'en particulier, un polynôme constant n'est pas le produit de deux polynômes de degrés strictement inférieurs au sien...

[GLafon]

Il y a effectivement une imprécision dans l'équivalence. C'est exactement comme pour la définition des nombres premiers en fait, le cas des polynômes constants (les éléments inversibles) est conventionnellement exclu de la définition (pour avoir des théorèmes de décomposition unique), mais il faut en effet le préciser dans ton 1) sinon ça ne marche pas bien !

[Nathgori]

Merci c'est étrange car j'ai aussi vu la faute sur ce cours du professeur François Sauvageot : http://mathom.fr/sites/default/files/Cours/chap7.pdf (page 7 du pdf) qui en plus précise que ma propriété 1 implique P non constant. Donc je pensais passer à côté d'un truc.

[GLafon]

Oui, il y a clairement un problème de formulation dans le pdf que tu cites, qui semble dire "pas le produit de deux polynômes de degré strictement inférieur" implique "pas constant", ce qui est clairement faux.