Calcul d'une énergie de poinçonnement

[Orveille]

Bonjour à tous et à toutes,

J'essaye depuis quelques jours de réaliser un calcul afin d’approximer l'énergie d'un projectile issue de l'explosion d'un équipement sous pression, mais j'arrive à des conclusions qui me semble illogique et j'aurais souhaitée savoir si vous trouvez les soucis qu'il y a dans ma logique.

Déjà j’ai pris quelques hypothèses :
• Je considère uniquement une projection suivante l’axe « x » et exclus la partie selon l’axe « z » donc la gravité.
• Je considère le déplacement sur 2 phases :
o une phase accélération où je considère le projectile comme uniquement soumis à la force de pression.
o une phase décélération où je considère le projectile comme uniquement soumis aux forces de frottement.
J’ai également pris les valeurs suivantes pour les différents paramètres du projectile :
• Masse du projectile (m) = 0.1 kg
• Surface interne exposée à la surpression (Sint) = 0,005 m2
• Surface externe poinçonnement (Sext) = 0,005 m2
• Coefficient de trainée du projectile (Cd) = 0.04
Pour les hypothèses concernant l’équipement sous pression :
• Pression de l’équipement (P) = 800000 Pa
• Volume de l’équipement (V) = 1 m3
Autres valeurs physiques :
• Densité de l’air (ρ) = 1,23 kg / m3

Je prends une hypothèse pour la durée de la phase d’accélération :
• Je considère de façon approximative qu’il s’agit du temps pour que la surpression dans le volume occupé passe à 0,4 atm. Je considère P x V = Cst. On a :
o Dans l’équipement sous-pression on a P et V
o Une fois l’explosion on considère que le gaz prend le volume d’une sphère de rayon d et de surpression P = 0,4 atm (uniquement la part liée au gaz libéré) et V = (4/3) x Pi x d^3. J’en déduis donc la distance d à partir de laquelle je quitte la phase accélération.
o J’obtiens d = 1,67 m.
Lors de la première phase « accélération » :
A t=0, j’ai « somme des forces = m x acc », avec comme unique force la force de pression F = P / S – Patm / S.
Soit mon accélération à t0 :
• Acc = (P – Patm) / (m x S) = 35000 m.s-2
Je considère cette accélération maximale sur la distance d = 1,67 m.
On à V(t) = Vo + acc x t
Seulement on souhaite calculer la vitesse en fonction de la distance avec V = d / t et Vo = 0.
V(d) = Acc x d / V(d)
V(d)² = Acc x d
V(d) = Racine (Acc x d)
V(d = 1,67) = 241,76 m.s-1

Pour la phase de décélération :
On redéfini t = 0 et Vo = Vmax = 241,76 m.s-1
On a : « m x Acc = - 0,5 x rho x V^2 x Aire x Cd »

On a un calcul différentiel de la forme : f’(t) + A x f(t)^2 = 0 et f(0) = V0
J’ai lancé un calcul via le calculateur différentiel sur dcode. Et j’obtiens la solution de la forme :
V = Vo / (A x Vo x t + 1) avec A = 0,5 x rho x Aire x Cd

Mais j’ai envie d’avoir la vitesse en fonction de la distance pour déterminer la vitesse du projectile à la distance d où se situe la cible du projectile. Donc je transforme t = d / V.

V = Vo / (1 + A x Vo x d / V)
V = Vo x V / (V + A x Vo x d)
V (V + A x Vo x d) = Vo x V
V = Vo – A x Vo x d
V = Vo (1 – A x d)
Et donc de cette formule on a que la distance max parcourue (à la quelle V tends vers 0 est la même quelque soit la vitesse initiale et ça me parait étrange, mais je ne trouve pas l’erreur que j’ai pu faire)

Si quelqu'un pouvait m'indiquer où j'ai pu faire une erreur, ça m'arrangerais.
Merci d'avance.

[U46406]

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