Problème espaces vectoriels normés

[buzzerlightning50]

Bonjour à tous, et merci par avance à l'attention que vous aurez portée à mon message.
Un exercice de mathématiques me pose problème :
il s'agit de montrer que si H est un hyperplan d'un espace vectoriel normé E, alors H est soit fermé soit dense dans E.
Pour répondre à cette question, on parvient à montrer que la première propriété "H est fermé dans E"(notons la A) ou la deuxième "H est dense dans E" (notons la B) est vraie, ou plus précisément, que la propriété "A ou B" est vraie, en montrant que (non(A) implique B) est vraie. Cependant, comme il s'agit de montrer un "ou exclusif" (n'est-ce pas?) , il faut aussi montrer que non(A et B), et dès lors, on aura montré que ((AouB)et non(A et B)), ce qui correspond bien à la valeur de vérité du "ou exclusif".

Cependant, si nous revenons à l'exercice, je pense parvenir à la conclusion que (A et B) est vraie, ce qui montrerait que l'énoncé est incorrect( alors que je me doute bien que c'est plutôt mon raisonnement qui est faux!)
En effet, si je prends H=E, j'obtiens trivialement que H est dense dans E, et d'autre part, H est bien un fermé puisque son complémentaire dans lui même, l'ensemble vide est un ouvert! Ce cas ne constitue-t-il pas un contre-exemple?

Pouvez-vous s'il vous plaît m'indiquer si j'ai commis une erreur dans mon raisonnement?

Je vous remercie par avance pour votre avis,
Cordialement

[GLafon]

En effet, si je prends H=E, j'obtiens trivialement que H est dense dans E, et d'autre part, H est bien un fermé puisque son complémentaire dans lui même, l'ensemble vide est un ouvert! Ce cas ne constitue-t-il pas un contre-exemple?

Il ne faudrait pas oublier l'énoncé non plus, on parle d'hyperplans, donc non E n'est sûrement pas un contre-exemple...