Exercices de MPSI

[SH#T]

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

SPOILER:

On note $ S $ la somme en question.
D'une part, on a $ 2S=\displaystyle{(\sum_{p=1}^{n-1}p^k+(n-p)^k)}+2n^k=n(blabla+2) $ alors $ n\mid 2S $
D'autre part: $ 2S=\displaystyle{\sum_{p=1}^{n} p^k+(n+1-p)^k}=(n+1)(blabla) $, donc $ n+1\mid 2S $
Et puisque ces deux diviseurs sont premiers entre eux, leur produit divise $ 2S $, on écrit finalement: $ \exists q\in\mathbb{N}, S=\dfrac{n(n+1)}{2}q $

[Mykadeau]

Soit $ n,k $ deux entiers naturels avec $ k $ impair. Montrer que $ 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k $ est divisible par $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n $.

SPOILER:

On note $ S $ la somme en question.
D'une part, on a $ 2S=\displaystyle{(\sum_{p=1}^{n-1}p^k+(n-p)^k)}+2n^k=n(blabla+2) $ alors $ n\mid 2S $
D'autre part: $ 2S=\displaystyle{\sum_{p=1}^{n} p^k+(n+1-p)^k}=(n+1)(blabla) $, donc $ n+1\mid 2S $
Et puisque ces deux diviseurs sont premiers entre eux, leur produit divise $ 2S $, on écrit finalement: $ \exists q\in\mathbb{N}, S=\dfrac{n(n+1)}{2}q $

Jolie

[Monsterkuru]

Tu n'oublies pas quelques hypothèses sur f ?
Et puis je ne vois vraiment pas trop l'intérêt de démontrer ça.

Soient $ a $,$ b $,$ c $,et $ d $ des entiers positifs impairs vérifiant $ a<b<c<d $, $ ad=bc $, $ a+d=2^{k} $,$ b+c=2^{m} $ pour deux entiers $ k $ et $ m $. Montrer que $ a=1 $.

On pourrait avoir des indications, s'il te plaît ?

SPOILER:

Calculer $ (b-a)(b+a) $

[Zetary]

Un exercice d'arithmétique pas évident même s'il n'en a pas l'air :

Soit n un entier naturel, montrer que parmi 2n-1 entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir n dont la somme est un multiple de n

[Mykadeau]

Un exercice d'arithmétique pas évident même s'il n'en a pas l'air :

Soit n un entier naturel, montrer que parmi 2n-1 entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir n dont la somme est un multiple de n

SPOILER:

On peut montrer que la propriété se transmet par le produit et est donc vrai pour tout les nombres composés à condition qu'elle soit vérifié pour les nombres premiers. Mais je ne vois pas comment la prouver pour les nombres premiers.

[Monsterkuru]

SPOILER:

Tiroirs

Deux vieux exos que j'ai trouvés assez cools.

• Soit $ s(n) $ la somme des chiffres d'un entier positif $ n $.
  Montrer que pour tout entier strictement positif $ n $, on a $ \displaystyle \frac{s(n)}{s(2n)} \le 5 $

• Triangle médian du triangle orthique. Cercle de Taylor.
  
  1ère partie : triangle médian du triangle orthique :
  
  On considère un triangle $ ABC $ supposé non rectangle.
  Soit $ I $, $ J $, $ K $ les pieds des hauteurs du triangle $ ABC $, issues respectivement de $ A $, $ B $, $ C $.
  Soit $ M $ et $ N $ les projetés orthogonaux respectifs de I sur $ (AC) $ et $ (AB) $.
  On note $ I_1=S_{AB}(I) $ et $ I_2=S_{AC}(I) $.
  1. Démontrer que :
  a) $ (MN)//(I_1I_2) $.
  b) Les points $ I $, $ K $, $ J $,$ I_2 $ sont alignés.
  c) La droite $ (MN) $ contient les milieux respectifs $ J' $, $ K' $ de $ (I,K) $ et $ (I,J) $.
  
  (Pour les notations je ne pense pas qu'il y ait de problèmes mais sait-on jamais : ($ (A,B) $ : Couple de points, appelé bipoint, dont $ A $ est l'origine et $ B $ l’extrémité. $ S_{AB} $ : Symétrie orthogonale par rapport à la droite $ (AB) $).

[symétrie]

Un exercice d'arithmétique pas évident même s'il n'en a pas l'air :

Soit n un entier naturel, montrer que parmi 2n-1 entiers (non nécessairement distincts) il est possible d'en choisir n dont la somme est un multiple de n

Euh à mon avis niveau difficulté t'abuses un peu là. Tu es sûr que tu as une preuve raisonnablement trouvable et au programme ? Même sur « Exos sympas MP(*) » si y'a pas plus simple que ce que je connais ça serait sans doute abusif.
Cela dit, Mykadeau était bien parti mais il reste encore le gros du chemin…

Édit : visiblement il existe une preuve totalement élémentaire et assez courte, mais bon, je saurai pas dire si elle est trouvable. Donc à la limite pourquoi pas…

[Tornado]

Dans la même gamme, mais en plus simple :

On se donne $ a_0, \dots, a_n $ n+1 entiers rangés dans l'ordre croissant (pas forcément distincts).
Montrer qu'il existe $ i \leq j $ deux indices tels que la somme $ a_i + \dots + a_j $ est divisible par $ n $

[Leo11]

Soit n dans IN*
On cherche à ranger les entiers de 1 à n en k classes telles que pour tout couple d'entiers appartenant à une même classe, aucun des deux entiers du couple ne divise l'autre.
Minorer k au mieux.

[Leo11]

Dans la même gamme, mais en plus simple :

On se donne $ a_0, \dots, a_n $ n+1 entiers rangés dans l'ordre croissant (pas forcément distincts).
Montrer qu'il existe $ i \leq j $ deux indices tels que la somme $ a_i + \dots + a_j $ est divisible par $ n $

Il me semble que ca marche encore en ne considérant que n entiers