Un point est un sous-espace affine de dimension 0, sa direction est l'espace vectoriel nul $ \{0\} $. Attention à ne pas confondre $ \{0\} $ avec $ \{\emptyset\} $ ou $ \emptyset $.

On peut prendre $ \Omega = \{0,1,2,3\} $ et $ \mathcal A = \{\{0,1\},\{0,2\}\} $. Alors $ \sigma(\mathcal A) = \mathcal P(\Omega) $ et les mesures de probabilité définies par les poids $ (1/3 ; 1/3 ; 1/3 ; 0) $ et $ (2/3 ; 0 ; 0 ; 1/3) $ coïncident sur $ \mathcal A $.

c'est valable pour f continue et integrable en +oo non ? Non. Pour un contre-exemple, il suffit de considérer une fonction continue intégrable f telle que f(n) = 1 pour tout entier n . La série \sum_{n\geq 0} h\, f(nh) est alors grossièrement divergente pour toute valeur rationnelle de h . Ceci dit...

Peux tu donner plus de détails ? Puisque f(x) est bornée par 1/x^2 lorsque x \to +\infty , la fonction continue f est intégrable sur [0,+\infty[ et de plus \int_A^\infty f(x) dx = O\left(\int_A^\infty \frac{1}{x^2} dx\right) = O\left(\frac 1 A\right) lorsque A \to +\infty . De même, la série de ter...

Les points d'un (sous-)espace affine $ \mathcal E $ sont simplement les éléments de $ \mathcal E $.

Un exercice que j'ai trouvé très intéressant , tombé il y a quelques années à une épreuve écrite des ENS. Soit f une fonction de la variable réelle , à valeurs complexes , continue ,et telle que f est négligeable devant x -> 1/x² lorsque |x| -> +oo. Montrer que: \sum_{0}^{+\infty} h f(nh) \underset...

Moi j'ai eu l'exo suivant (je crois l'avoir déjà poster) Soit G un groupe fini de cardinal 2n qui contient 2 sous-groupe A et B de cardinal n distincts. Montrer que G contient un 3ème sous-groupe de cardinal n. L'action de G par translation à gauche sur l'ensemble des classes à gauche G/A induit un...