Inversion a écrit : ↑

04 juin 2021 05:42

Bonjour,

Je pense qu'avec la convexité de la fonction carré on peut effectivement conclure très facilement grâce au calcul mené plus haut.

En effet, il faut reconnaître un barycentre et ça marche très bien!

$Tr(A^2)=\sum_{i,k} A_{i,k}^2$ d'une part
$Tr(A^2)=\sum_i \lambda_i^2$ d'autre part en diagonalisant

C'était naturel d'y penser car c'est juste le membre de droite de notre inégalité !

Merci pour le coup de pouce !

Bonjour, je cherche l'exercice suivant, Soit A\in S_n(\mathbb R) . On note ses valeurs propres coptées avec multiplicité $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Etablir : $\displaystyle\sum_{i<j} A_{i,i}A_{j,j}\ge\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j$. En utilisant la conservation de la trace, on se ramène à établir : ...

Bonjour, dans le contexte d'un exercice de topologie, je me suis posé la question suivante : Soit C un convexe non fermé d'un $\mathbb R$-evn de dimension finie. Soit $P\in\bar{C}\setminus C$. Existe-t-il $X\in C: [X,P[\subset C$ ? avec $[X,P[=\{(1-t)X+tP:0\le t<1\}$ Mon intuition m'a suggéré ce rés...

Exact, quelques petits corrections :

$l=p$ (les valeurs propres sont sommées avec répétition dans la trace)

c'est plutôt $\dfrac 1z \dfrac{\chi_A'(\frac 1z)}{\chi_A(\frac 1z)}$

Bonjour, Je cherche l'énoncé suivant (issu je crois des oraux des ENS): Soit a,b réels non nuls. On note pour $\delta >0$ : $A=\{x\in \mathbb Z : \exists y \in \mathbb Z: |ax+by| < \delta\}$ Montrer qu'il existe $L>0$ tel que tout intervalle de $\mathbb R$ de longueur $L$ intersecte $A$. Le cas $a$ ...

Très élégant !

Le rayon de convergence $R$ est plutôt l'inverse du rayon spectral $\rho$, hormis dans le cas embêtant où : $\lambda_1^n+...+\lambda_r^n\rightarrow 0$ avec les $\lambda_i$ les valeurs propres de module $\rho$. (dans ce cas, on a tout de même $R\ge \dfrac 1{\rho}$) Ensuite, écris ce que vaut $Tr(A^n)...

C'est splendide la combinatoire par séries formelles ! (dans la relation $(*)$ ce sont des $\binom {k+n-1}{k-1}$ : teste avec k=1 ! il y a en outre un $(-1)^k$ qui a été omis) du coup on trouve avec ces corrections $\displaystyle\sum_{mj+k+i=n}\binom kj(-1)^{-j}\binom {k+i-1}{k-1}=\displaystyle\sum_...

Non ma question portait sur le fait que les $ m_i $ doivent être $\le m$ (tandis que leur somme ne l'est pas nécessairement).