Groupes isomorphes

[Thaalos]

Je sais, mais j'ai bien le droit de dire une ou deux grosses conneries de temps en temps non ?

[Dydo]

L'anneau nul n'est pas un corps...

Mais ça ne reste qu'une convention Il en vérifie bien les propriétés.

[Dydo]

Oups, je m'excuse de m'être avancé si vite alors :þ Je ne savais pas qu'il y avait une raison à ce qui m'a toujours été présenté comme conventionnel

[Valvino]

Ca ne change pas grand chose, c'est surtout pour éviter les prises de tête du genre "quelle est la caractéristique du corps nul" ou encore "il faut rajouter l'hypothèse K différent du corps nul si vous voulez utiliser le lemme IV.5.3 dans la démonstration du corollaire du théorème VI.5.9"

[Deviling]

Re-salut ! J'me suis lancé dans la rédaction de cet exercice.
Et je bloque encore un peu avec (Q+*, .).
J'voulais juste être sur, il n'est isomorphe à aucun autre groupe ?

Car par exemple, si je suppose que (Q+*, .) est isomorphe à (Q, +) alors
f(1) = f(1 x 1) = 2 x f(1) d'ou f(1) = 0 or f(1) = f(p x 1/p) = f(p) + f(1/p) d'où f(1/p) = - f(p)
donc f(q/p) = f(q) - f(p) mais je vois pas vraiment de problème

Si (Q+*, .) est isomorphe à (Z, +) il y a les mêmes propriétés et pas de problème apparent

Si (Q+*, .) est isomorphe à (Z², +) euh, c'est encore pire...

[Shindara]

En utilisant la méthode que je t'ai donnée :
$ (\mathbb{Q}_+^*,.) $, est un ensemble dénombrable, et par des arguments de taille ne peut être mis en bijection qu'avec $ (\mathbb{Q},+) $, $ (\mathbb{Z},+) $ , et $ (\mathbb{Z}^2,+) $ parmi tes ensembles.

On s'intéresse ensuite à l'ordre des éléments. Bon, tous les éléments non nuls de tous ces groupes sont d'ordre infinis, on ne peut rien dire.

Ensuite, ces groupes ont ils des éléments générateurs ? Ou une famille d'éléments générateurs finie simple à exhiber ? Tu peux déjà éliminer $ (\mathbb{Z},+) $ et $ (\mathbb{Z}^2,+) $ !

Reste $ (\mathbb{Q},+) $... Là, il va falloir un peu plus d'imagination. Allez une piste. Supposons que ces groupes soient isomorphes. Prend le $ 2 $ de $ (\mathbb{Q}_+^*,.) $ , notons $ a $ son image dans $ (\mathbb{Q},+) $. $ a/2 $ est encore rationnel, don c'est un élément de $ (\mathbb{Q},+) $. Quelle est l'image de $ a/2 $ dans $ \mathbb{Q}_+^*,.) $ ?

[esta-fette]

Tu peux aller au-delà de l'aspect fini/infini dans ton raisonnement, en considérant aussi qu'un ensemble dénombrable ne peut pas être équipotent à un ensemble non dénombrable.

Par contre, l'idée de $ (\mathbb{Z},+) $ trop petit par rapport à $ (\mathbb{Q},+) $ est fausse puisque les deux ensembles sont dénombrables. Mais, effectivement, les deux groupes ne sont pas isomorphes à cause d'une autre différence majeure : l'arithmétique! On raisonne généralement par l'absurde.

SPOILER:

Supposons l'existence d'un isomorphisme $ f $ entre $ (\mathbb{Q},+) $ et $ (\mathbb{Z},+) $.

Soient $ p \in \mathbb{Z}^* $.

On a : $ 1 = p \times \frac{1}{p} $ donc $ f(1) = p \times f(\frac{1}{p}) $.

D'où : $ \forall p \in \mathbb{Z}^*, \ p|f(1) $.

Cela implique que $ f(1)=0 $, ce qui est exclu par injectivité de $ f $!

vérifiez votre démonstration......

Comparer Z;+ = et Q, + en tant que groupe n'est pas la même chose que les comparer en tant que structure algébrique comportant l'addition et la multiplication......
Il suffit de voir que Z est engendré par 1 et que Q n'est pas engendré par 1....
c'est un peu comme si on disait que la base de Q sur Z est infinie....

SPOILER:

s'il existe un morphisme de groupe bijectif de Q sur Z
soit f(w)=1......
w = a/b......
prenons u = a/2b et f(u)=v
u + u = w
f(u)+f(u)=1 et f(u) est un élément de Z
ce qui est impossible dans Z

[esta-fette]

Re-salut ! J'me suis lancé dans la rédaction de cet exercice.
Et je bloque encore un peu avec (Q+*, .).
J'voulais juste être sur, il n'est isomorphe à aucun autre groupe ?

Car par exemple, si je suppose que (Q+*, .) est isomorphe à (Q, +) alors
f(1) = f(1 x 1) = 2 x f(1) d'ou f(1) = 0 or f(1) = f(p x 1/p) = f(p) + f(1/p) d'où f(1/p) = - f(p)
donc f(q/p) = f(q) - f(p) mais je vois pas vraiment de problème

Si (Q+*, .) est isomorphe à (Z, +) il y a les mêmes propriétés et pas de problème apparent

Si (Q+*, .) est isomorphe à (Z², +) euh, c'est encore pire...

(Q+*;.) est engendré par les fractions de la forme p avec p premier....et leurs inverses
Z²,+ est engendré par (0;1) et (1;0)
Z, + est engendré par 1
ils ne sont pas isomorphe .......

assez simple à démontrer...

[MBarthOut]

vérifiez votre démonstration...... Comparer Z;+ = et Q, + en tant que groupe n'est pas la même chose que les comparer en tant que structure algébrique comportant l'addition et la multiplication......

Je suis d'accord, mais $ p $ est un entier dans ma démonstration.

Donc $ p \times \frac{1}{p} $ est juste une façon commode d'écrire $ \underbrace{\frac{1}{|p|} + ... + \frac{1}{|p|}}_{|p| \ termes}} $.

En conséquence,

$ f(1) = \underbrace{f(\frac{1}{|p|}) + ... + f(\frac{1}{|p|})}_{|p| \ termes}} = |p| \times f(\frac{1}{|p|}) $.

En outre, $ |p| \times f(\frac{1}{|p|}) = p \times f(\frac{1}{p}) $ puisque si $ f $ est un morphisme de groupe, $ \forall x \in \mathbb{Q}, \ f(-x) = - f(x) $.

Ma démonstration est donc correcte.

[esta-fette]

à mBarthOut....

Oui, elle est correcte, pardonnez moi, de n'avoir pas réfléchi suffisamment....