serie

[esta-fette]

salut tout le monde . Est ce qu'on peut montrer , par une méthode autre que la règle d'Abel , que les série Sum (cos(n) /n ) ou sum (cos(n)/racine(n) ) convergent ? d'une manière plus élémentaire!

Perso sans Abel, je sais pas faire.

Pourrait-on avoir la démonstration avec le lemme d'Abel?

c'est bien celui-là?

Lemme d'Abel
Etant donnée une série entière $ \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n x^n $ , s'il existe un r strictement positif tel que la suite
$ (an.r^n) $ soit bornée, alors pour tout $ x \in C $ tel que x < r , la série entière est absolument
convergente.

[esta-fette]

on parle donc de l'égalité suivante :
$ S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n $


Si on pose $ \displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n b_k $

$ \displaystyle S_N = a_N B_N - \sum _{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n) $

Je suppose qu'on prend $ \displaystyle a_k = \frac 1 k $ et $ b_k=\cos(k) $

[Thaalos]

Règle d'Abel.
Soit $ u_{n} = \alpha_{n}.v_{n} $
On note $ S_{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}v_{k} $.
Si $ (\alpha_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ est une suite à termes positifs, décroissante tendant vers 0, et si $ (S_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ est bornée, alors $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_{n} $ converge.
En posant $ v_{k} = cos(k) $, et $ \alpha_{k} = \frac{1}{k} $, on démontre que $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}cos(k) $ est borné, et on a la convergence de $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{cos(n)}{n} $.

On peut modifier les hypothèses de la manière suivante.
Si $ (\alpha_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ vérifie $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}}\alpha_{n+1}-\alpha_{n} $ converge en valeur absolue, et si $ u_{n} \to 0 $, alors on a aussi la convergence de $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}}u_{n} $.

[esta-fette]

Règle d'Abel.

En posant $ v_{k} = cos(k) $, et $ \alpha_{k} = \frac{1}{k} $, on démontre que $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}cos(k) $ est borné, et on a la convergence de $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{cos(n)}{n} $.

D'accord:
$ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}cos(k)= RE ( \frac {e^ {i (n+1)k}-1}{e ^ {i}-1}) $
et c'est bien borné par $ \frac 2 { \sqrt (2-2 sin 1)} $

ma méthode était plus longue, elle s'appuyait sur le résultat suivant (lemme de Borel, si je ne me trompe)
f fonction continue sur un compact (ou continue par morceaux) sur [a;b]
alors$ \displaystyle \int _a^b f(t)cos ( \lambda t) dt $ tend vers zéro quand lambda tend vers l'infini

[Thaalos]

Je connais pas. ^^
La démonstration du théorème d'Abel tient en quelques lignes.
Et parfois, ce théorème est bien pratique.

[x.valentin]

ma méthode était plus longue, elle s'appuyait sur le résultat suivant (lemme de Borel, si je ne me trompe)
f fonction continue sur un compact (ou continue par morceaux) sur [a;b]
alors$ \displaystyle \int _a^b f(t)cos ( \lambda t) dt $ tend vers zéro quand lambda tend vers l'infini

Lemme de Riemann-Lebesgue plutôt.

[Madec]

"ma méthode était plus longue, elle s'appuyait sur le résultat suivant (lemme de Borel, si je ne me trompe)
f fonction continue sur un compact (ou continue par morceaux) sur [a;b]
alors\displaystyle \int _a^b f(t)cos ( \lambda t) dt tend vers zéro quand lambda tend vers l'infini"

oui mais la fonction f(t) (ici 1/t ) n'est pas définie en t=0 , donc pas sûr que cela fonctionne ...

[esta-fette]

elle fonctionne en triturant les epsilon, et en redémontrant presque le lemme.....

en fait dans chaque subdivision, on peut choisir un t tel que $ cos (\lambda t)=0 $
et s'occuper en même temps de la borne zéro.....

mais c'est vrai que le lemme d'Abel, qui était sorti doucement de ma mèmoire est très utile pour ce genre de problèmes...

[crack]

le lemme de borel c'est un grand classique mais,comme celui d'abel, c hors programme!donc ça reste le même principe : utiliser la démo du lemme d'une façon implicite!(comme pour la recherche de l'équivalent d'une intégrale généralisée en + l'infini on utilise implicitement un lemme très classique celui de laplace)

[Thaalos]

le lemme de borel c'est un grand classique mais,comme celui d'abel, c hors programme!donc ça reste le même principe : utiliser la démo du lemme d'une façon implicite!(comme pour la recherche de l'équivalent d'une intégrale généralisée en + l'infini on utilise implicitement un lemme très classique celui de laplace)

J'ai jamais entendu parler de ce lemme, encore moins comme un grand classique...