Isomorphisme entre E et L(E)

[The TJFK]

Soit E un espace vectoriel quelconque.

Il est bien connu (par dimension) que si E est de dimension finie alors E et L(E) sont isomorphes ssi la dimension vaut n=0 ou 1.

Est-il possible cependant que E et L(E) soient isomorphes en dimension infinie ? (J'aurais tendance à dire non)

[rafan]

C'est vrai en utilisant l'axiome du choix (un ensemble infini est en bijection avec son carré)...

EDIT: complètement faux... -> voir ci-dessous

[The TJFK]

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[Downham]

Il peuvent être équipotents sans être isomorphes, je me trompe?

[rafan]

Non en fait j'ai dit une connerie: c'est faux en dimension dénombrable (R[X] dimension dénombrable) et L(R[X]) dimension indénombrable)
en fait on doit pouvoir montrer que si une base de l'espace est I, L(E) contient une famille libre équipotente à P(I)

[rafan]

Il peuvent être équipotents sans être isomorphes, je me trompe?

Bien sur R et R^n sont équipotents mais pas isomorphes pour n>1.

[Mocassins]

En bijection oui mais en bijection linéaire...?

Avec l'axiome du choix: pour un espace $ E $, et une base $ e: \alpha \rightarrow E $ de $ E $, la famille des applications linéaires envoyant $ e $ sur $ e \circ \sigma $ où $ \sigma $ est une permutation de $ \alpha $ est une famille libre d'éléments de $ L(E) $.
Le cardinal de l'ensemble des permutations de $ \alpha $ est $ 2^{\alpha} > \alpha $.
Donc $ \dim(L(E)) \geq 2^{\alpha} > \alpha $.

[rafan]

Euh ta démonstration doit être fausse car tu affirmes aussi qu'un espace vectoriel de dimension finie E a une dimension > 2^n
En fait ta famille n'est pas libre
sinon en dimension infinie le résultat doit être faux

[Downham]

Il peuvent être équipotents sans être isomorphes, je me trompe?

Bien sur R et R^n sont équipotents mais pas isomorphes pour n>1.

Oui voilà, je disais ça parce avec l'axiome du choix tu ne construisais qu'une bijection, et j'avais pas trop compris entre quoi et quoi, et j'avais le sentiment que pour toi ça impliquait l'isomorphisme
Si je te suis bien, tu construisais une bijection entre une "base" de E et une autre de L(E). Mais ce n'est pas suffisant pour justifier l'isomorphisme entre E et L(E), il faut que tu construises un morphisme qui envoie une base sur l'autre et là ça devient beaucoup plus compliqué.

Comment tu justifies, ne serait-ce qu'au feeling, que L(IR[X]) est de dimension infinie indénombrable?

[rafan]

non si j'ai une bijection entre deux bases j'ai un isomorphisme le probleme c'est que L(E) est bien trop gros...
En vérité en dimension infinie même le dual de E est trop gros pour lui être isomorphe...