[Probas] Déterminer un paramètre d'une loi conjointe

[Wenneguen]

Bonjour,

j'ai besoin d'un peu d'aide concernant cet exercice :

Soit $ (X,Y) $ un couple aléatoire à valeurs dans $ \mathbb{N}^2 $ de loi définie par $ P(\{X=n\}\cap\{Y=m\})=\dfrac{a}{(n+m+1)!} $.
Déterminer $ a $.

Ma première idée consiste à exploiter le fait que $ \sum_{n,m=0}^{\infty} P(\{X=n\}\cap\{Y=m\}) = 1 $.

Est-ce la bonne démarche ? Si oui, comment calculer cette somme (je ne suis pas très à l'aise avec les séries doubles) ?

Merci

[optimath]

En fait, il n'y a pas de 1ère idée et 2ème idée dans ce cas, c'est la seule façon de déterminer cette constante.
L'énoncé assure que c'est bien une probabilité, donc à la limite, tu n'as même pas besoin de prouver la convergence de la série double.
Si l'on note $ \mathbb{P}\left( \left\{(X,Y) = (n,m) \right\} \right) = a \times u_{n,m} $ alors dire que $ a = \frac{1}{\sum u_{n,m}} $ suffirait (il n'y a pas besoin de donner une expression explicite de cette somme, à moins que cela ne soit demandé par l'énoncé).

[JeanN]

Ce n'est pas parce que l'énoncé dit quelque chose qu'il ne faut pas procéder à des vérifications élémentaires.
Exemple : montrer qu'une fonction est bien définie . Même si l'énoncé pose la fonction de R vers R définie par f(x)=..., il est éventuellement intéressant de justifier/valider son domaine de définition...

Concernant cette somme double (et beaucoup d'autres), pour la calculer, justifie que tu peux sommer dans n'importe quel ordre à condition de ne compter qu'une fois chaque terme et représente les termes de la somme sur un quadrillage pour voir quel serait le procédé de sommation le plus adapté...
Indice : la réponse est simple

[optimath]

Ce n'est pas parce que l'énoncé dit quelque chose qu'il ne faut pas procéder à des vérifications élémentaires.
Exemple : montrer qu'une fonction est bien définie . Même si l'énoncé pose la fonction de R vers R définie par f(x)=..., il est éventuellement intéressant de justifier/valider son domaine de définition...

Je vois bien ce que vous dites puisque je procède ainsi (je vérifie), je n'ai peut-être pas été de bon conseil, mais je pense qu'un bon énoncé doit minimiser le doute. Il me semble naturel que si l'on me dit "Soit la probabilité...." que je ne trouve pas cela nécessaire et obligatoire de vérifier qu'il s'agit bien d'une probabilité, c'est laissé à mon appréciation personnelle. Sinon, quand il me dit "Montrer que a = b", je n'ai qu'à remettre en doute cette égalité aussi, je peux le faire...tout est possible, mais vous voyez bien où ça peut mener, non ?

[JeanN]

Je suis d'accord avec l'essentiel : l'énoncé est relativement mal posé pour un écrit, suffisamment "ouvert" pour un oral.
Voici un autre exemple d'énoncé trop "court" : calculer "telle intégrale impropre"
Un candidat à l'oral qui refuserait de procéder à la vérification de l'intégrabilité sous prétexte que l'énoncé demande le calcul donc que l'existence est assurée se verrait probablement "sanctionné"... et une telle question dans un écrit demande à mon avis de la vigilance pour le candidat pour reformuler de lui-même la question en "existence puis calcul" de l'intégrale

[Wenneguen]

Ok c'est bon pour cette question :we:

On me demande ensuite :

Calculer la loi de $ Z=X+Y $ , d'identifier cette loi et de donner ses moments d'ordre 1 et 2.
En déduire l'espérance mathématique de $ X $ et $ Y $.

" Au feeling ", je dirais :

$ P(\{X+Y=k\})=\sum_{n=0}^k \dfrac{a}{(n+k-n+1)!}=\dfrac{e^{-1}}{k!} $

c'est ça ?

[optimath]

" Au feeling ", je dirais :

$ P(\{X+Y=k\})=\sum_{n=0}^k \dfrac{a}{(n+k-n+1)!}=\dfrac{e^{-1}}{k!} $

Que veut dire "Au feeling" ? Tu as bien fait un raisonnement et un calcul, non ?
Sinon, oui, c'est exact. Il faudrait juste dire le nom de cette loi usuelle et son paramètre.

[Wenneguen]

Je dis " au feeling " car je ne me suis pas référé à des propositions du cours (ou alors inconsciemment)

Ok merci, donc c'est une loi de Poisson de paramètre 1

[optimath]

Je dis " au feeling " car je ne me suis pas référé à des propositions du cours (ou alors inconsciemment)

Disons que tu ne t'en es pas rendu compte, parce que au minimum, tu as utilisé le fait que la probabilité d'une union disjointe d’événements est la somme des probabilités de chacun de ces événements.

Ok merci, donc c'est une loi de Poisson de paramètre 1

Yes.