Isomorphisme d'espaces euclidiens, morphismes, isométries

[gundertaker]

C'est bizarre que ça ne soit pas bijectif si ca s'appelle aussi isomorphisme euclidien mais bon...
J'ai trouvé qqch : un morphisme euclidien est un isomorphisme euclidien ssi dim source=dim but

[Mikihisa]

Le fait de respecter la norme implique l'injectivite (et donc bijectif puisqu'un espace euclidien est de dimension fini)
Si f(x) = 0, ||f(x)|| = ||x||=0 d'où x=0.

Il n'y a pas de différence entre "un morphisme qui respecte la norme" et "un morphisme bijectif qui respecte la norme", en dimension finie tout du moins.

Enfin J'ajouterais que le terme "morphisme" ne fait pas référence uniquement a la conservation de Loi de composition.
Un morphisme d'ensemble ordonné est une application qui conserve l'ordre (application croissante).

[Mikihisa]

Ah oui évidemment si tu ne considère plus les "même" espace au départ et a l'arrivée (ou de dim différent) c'est plus vrai, mais on conserve quand même l'injectivite quoi qu'il arrive.

[gundertaker]

Je crois avoir compris : en dim finie, si dim but=dim source, morphisme euclidien equivaut à isomorphisme euclidien ( grâce au fait qu'un morphisme euclidien est toujours injectif).
de plus, un endomorphisme euclidien est un automorphisme euclidien (iso+endo=auto) et c'est cet automorphisme euclidien (ou orthogonal?) que mon professeur appelle isometrie.

[Mocassins]

Les isométries sont aussi les applications qui conservent les distances, et alors ce ne sont pas nécessairement des morphismes d'espaces vectoriels. Par exemple les translations sont des isométries $ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $.

[Mikihisa]

Oui pour ça qu'on distingue souvent isométrie et isométrie vectorielle.

[gundertaker]

Je parle des isometries vectorielles alors