Exercices de MPSI

[ama26]

Oui on considère la suite de fonctions f(x+n), mais ca marche vers +oo, il n'y a pas besoin de se restreindre a [0,1[ pour x, non ? (comme Oka).

Pour la justification, je propose ca:
lim a^a/(a+b)^(a+b) = lim a^a/a^(a+b) (ici on peut remplacer a+b^a+b par a^a+b car a^(a+b)<(a+b)^(a+b) et si la lim tend vers 0 avec a^a+b elle le fera a forciori avec une fonction plus violente: a+b^a+b)
= lim a^a/a^a*a^b = lim a^(-b) = 0

[lsjduejd]

Un joli exercice que je déterre :

Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs a et b tels que a<b vérifiant $ \displaystyle a^{b}=b^{a} $ sont de la forme $ \displaystyle a= \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} $ et $ \displaystyle b=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n+1} $, n entier naturel non nul

[into44]

jaime les maths.
c'est quoi 10 *10

The TJFK sera ravi d'y répondre, friand ce genre de question
(0.5*10^2*2)

[into44]

ah oui ok mdr

[Alexis73]

Un joli exercice que je déterre :

Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs a et b tels que a<b vérifiant $ \displaystyle a^{b}=b^{a} $ sont de la forme $ \displaystyle a= \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} $ et $ \displaystyle b=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n+1} $, n entier naturel non nul

SPOILER:

Soient $ a $ et $ b $ deux rationnels distincts et strictement positifs tels que $ a<b $ et vérifiant $ a^b=b^a $.
On constate que : $ b=\frac{b}{a}\times a $. Donc :
$ a^b=b^a \Leftrightarrow a^{\frac{b}{a}\times a}=(\frac{b}{a}\times a)^a\Leftrightarrow a^{\frac{b}{a}}=\frac{b}{a}\times a $ (puisque tout est positif).
Ainsi :
$ a^{\frac{b}{a}}=\frac{b}{a}\times a \Leftrightarrow a^{\frac{b}{a} -1}=\frac{b}{a} \Leftrightarrow (a^{\frac{b-a}{a}})^{\frac{a}{b-a}}=(\frac{b}{a})^{\frac{a}{b-a}} $.

En posant $ n=\frac{a}{b-a} $ où $ n>0 $, on a alors : $ \frac{b}{a}=1+\frac{1}{n} $. Ainsi : $ a=(1+\frac{1}{n})^n $ et comme $ b=(1+\frac{1}{n})\times a $, on a bien : $ b=(1+\frac{1}{n})^{n+1} $.

Je pense que ça devrait être bon. Mais du coup on doit vérifier ou pas que les solutions fonctionnent ?

[muscovado]

tu n'as pas prouvé que n était entier

[Alexis73]

Ah oui, j'avais pas vu.
Comment donc le démontrer ? En raisonnant par l'absurde ? (à première vue je vois ça)

[Tornado]

Je relance avec un pas dur du tout mais rigolo à résoudre :

Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n'est pas le produit d'exactement deux nombres premiers

[ticotanar]

Je relance avec un pas dur du tout mais rigolo à résoudre :

Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n'est pas le produit d'exactement deux nombres premiers

SPOILER:

Bon pour 2 et 3 on a 2+3=5 qui n'est pas le produit de deux nombres premiers.

Maintenant soient p1 et p2 deux nombres premiers consécutifs avec p2>p1=/=2.

Supposons que p1+p2 est le produit de deux nombres premiers exactement:

p1+p2 est pair donc p1+p2=2*p3 avec p3 premier
p3=(p1+p2)/2 on a donc p1<p3<p2 ce qui est absurde car p1 et p2 sont des nombres premiers consécutifs.

[adamard10]

Est-ce qu'il existe une fonction "relativement" simple faisant office de contre-exemple de la réciproque du TVI?