Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Chez un taupin bien formaté, la méthode classique c'est l'encadrement standard du terme général à l'aide d'intégrales triviales : c'est une méthode élégante car intuitive qui donne en plus un équivalent simple de la suite. C'est largement accessible à un terminal, mais on attend pas de lui que ça soit un réflexe.

[lsjduejd]

Pour une fois que j'ai fait un truc plus court que la méthode 'par coeur', c'est bien nan ?

[Magnéthorax]

Oui mais on pas l'équivalent et la généralisation aux exposants irrationnels semble délicate.

[youyou7]

Donc pour l'exo de youyou7, après sa recommandation sur fof et sa monotonie , j'ai travaillé de ce côté, et je bug sur une équation du 4e degré qui me semble irrésolible à la main, donc je me suis probablement planté de méthodes, enfin bref, si quelqu'un peut me remettre dans le droit chemin ( ), je lui serai reconnaissante ^^ Je mets en spoiler au cas où certains continuent de chercher :

SPOILER:

On sait (fin plutôt on démontre ^^) que la fonction f telle que $ f(u_n) = u_{n+1} $ est décroissante sur l'intervalle [0;1].

Donc la fonction composée fof est croissante sur ce même intervalle.

Donc si on considère deux "sous-suites" $ (u_{2n}) $ et $ (u_{2n+1}) $, on sait que l'une est strictement croissante sur cet intervalle, et l'autre strictement décroissante.
Donc la je cherchais à savor si ces deux suites convergeaient vers la même limite, comme ça (u_n) converge, et donc j'ai essayé de chercher des points fixes de fof, mais je tombe sur une équation du 4e degré... (sans terme du 3e degré certes... ^^)
Suis-je sur la bonne voie ?

Tes pistes sont bonnes, à présent, peux tu faire un lien entre les points fixes de f et ceux de fof ? (pour te "débarrasser" de ce 2nd degré)

Quelques indices en spoiler...

SPOILER:

Il y'a une valeur de lambda qui va changer "beaucoup" de choses

SPOILER:

C'est 3/4 ! A présent il faut distinguer les cas qui s'imposent...

[Magnéthorax]

Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n $.

1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n) $.
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n) $.

Coquille dans la définition de la suite ?

[Yoki]

Soit $ (u_n) $ la suite définie par:
$ u_0 = u_1 = -1 $
$ u_n+2 = (n+1)u_{n+1} - (n+2)u_n $.

1) Faire deux conjectures: l'une concernant la différence $ u_{n+1} - u_n $, et l'autre concernant la suite $ (u_n) $.
2) Déterminez une expression de la suite $ (u_n) $.

Coquille dans la définition de la suite ?

Oui, c'est $ u_{n+2} $ évidemment

[bullquies]

soit $ z \in \mathbb{C}, p \in \mathbb{N}^* $, tel que $ |z| = 1 $ et $ z^p \neq 1 $.

Montrer que $ Re(\frac{1}{1-z^p}) = \frac{1}{2} $. (résultat que je trouve très surprenant d'ailleurs)

SPOILER:

je complique volontairement un peu l'énoncé, mais il suffit de le prouver pour p=1

[fakbill]

interprétation géométrique?

[Retard]

Pour l'interprétation géométrique : calculer la partie imaginaire...

[mathophilie]

Merci pour l'exo sur les complexes J'essayerai de le faire quand je les aurai étudiés en cours D'autres TS s'en seront probablement occupés avant moi

@youyou7 : Je suppose que les points fixes de f appartiennent à E l'ensemble des points fixes de fof, je vais essayer de trouver une factorisation à partir de ça

@lsjduejd : Ahah j'avoue ! Je voulais trouver une majoration indépendante de n de sorte qu'elle soit fixe, afin d'éviter d'obtenir des fractions avec n au dénominateur qui pourraient tendre vers 0, mais comme tu dis fallait pas se compliquer la vie

Je me sens un peu seule là, les autres TS vous êtes partis où ???