Exercices de MPSI

[SH#T]

Hyper-classique mais je n'ai pas d'autres exos:

Soit $ n $ un entier naturel. Montrer que si $ n $ n'est pas un carré, alors $ \sqrt{n} $ est irrationnel.

[muggle]

Hyper-classique mais je n'ai pas d'autres exos:

Soit $ n $ un entier naturel. Montrer que si $ n $ n'est pas un carré, alors $ \sqrt{n} $ est irrationnel.

SPOILER:

On pose $ \sqrt{n}=\frac{a}{b} $ avec n entier naturel qui n'est pas un carré, a et b entiers naturels premiers entre eux. Ainsi $ nb^2 = a^2 $. Comme n n'est pas un carré, il existe p et q entiers naturels, avec q un nombre premier, tels que $ n=pq $, d'où $ pqb^2 = a^2 $ et donc comme q premier, a est divisible par q et on ecrit a=kq. On a donc $ pb^2=qk^2 $ d'où b divisible par q. Contradiction avec A et b premier, d'où le résultat.

[SH#T]

Peut-être je me trompe, mais je pense qu'il y a des coquilles dans ton raisonnement:

Soit $ n $ un entier naturel. Montrer que si $ n $ n'est pas un carré, alors $ \sqrt{n} $ est irrationnel.

SPOILER:

On pose $ \sqrt{n}=\frac{a}{b} $ avec n entier naturel qui n'est pas un carré, a et b entiers naturels premiers entre eux. Ainsi $ nb^2 = a^2 $.
Comme n n'est pas un carré, il existe p et q entiers naturels, avec q un nombre premier, tels que $ n=pq $ (p et q ne sont pas nécessairement premiers entre eux) , d'où $ pqb^2 = a^2 $ et donc comme q premier, a est divisible par q et on ecrit a=kq.
On a donc $ pb^2=qk^2 $ d'où b divisible par q. Alors pourquoi q divise nécessairement b et non pas p ?
Contradiction avec A et b premier, d'où le résultat.

[donnerwetter]

Il y a plus simple je crois : a^2=n b^2 => PGCD(a^2;b^2)=b^2 => a^2 et b^2 non premiers entre eux => a et b non premiers entre eux (contraposée évidente)

[Zetary]

(car b² est different de 1 car n n'est pas un carré )

[muggle]

Peut-être je me trompe, mais je pense qu'il y a des coquilles dans ton raisonnement:

Soit $ n $ un entier naturel. Montrer que si $ n $ n'est pas un carré, alors $ \sqrt{n} $ est irrationnel.

SPOILER:

On pose $ \sqrt{n}=\frac{a}{b} $ avec n entier naturel qui n'est pas un carré, a et b entiers naturels premiers entre eux. Ainsi $ nb^2 = a^2 $.
Comme n n'est pas un carré, il existe p et q entiers naturels, avec q un nombre premier, tels que $ n=pq $ (p et q ne sont pas nécessairement premiers entre eux) , d'où $ pqb^2 = a^2 $ et donc comme q premier, a est divisible par q et on ecrit a=kq.
On a donc $ pb^2=qk^2 $ d'où b divisible par q. Alors pourquoi q divise nécessairement b et non pas p ?
Contradiction avec A et b premier, d'où le résultat.

Au temps pour moi, c'est q puissance première (CF décomposition au sens où les nombres naturels sont des produits de puissances de nombre premiers, on pose q la puissance maximale d'un nombre premier dans la décomposition de n).

[phibang]

Modifie ta preuve parce que là du coup on comprend pas trop

[muggle]

Modifie ta preuve parce que là du coup on comprend pas trop

D'accord je clarifie en copiant ici (la modif est signalée par un ÉDIT) :

Hyper-classique mais je n'ai pas d'autres exos:

Soit $ n $ un entier naturel. Montrer que si $ n $ n'est pas un carré, alors $ \sqrt{n} $ est irrationnel.

SPOILER:

On pose $ \sqrt{n}=\frac{a}{b} $ avec n entier naturel qui n'est pas un carré, a et b entiers naturels premiers entre eux. Ainsi $ nb^2 = a^2 $. Comme n n'est pas un carré, il existe (ÉDIT d'après la décomposition en facteur premier un nombre q premier, un entier naturel p et un entier naturel impair i tels que p et q sont premiers entre eux et $ n=q^i * p $, donc a^2 est divisible par q d'où comme q premier, a est divisible par q et on ecrit a=kq. On a donc $ pb^2=qk^2 $ d'où (ÉDIT : comme p et q sont premiers entre eux...) b divisible par q. Contradiction avec A et b premier, d'où le résultat.

[darklol]

Tu y es presque mais tu as oublié de modifier un bout de ta preuve (quand tu simplifies par q). L'argument qu'il te manque c'est que q doit apparaître avec une puissance paire dans la décomposition de a^2 (vu que c'est un carré parfait). Et donc q apparaît nécessairement dans la décomposition de b^2 (vu qu'il apparaît avec une puissance impaire dans n, il faut compenser), donc dans celle de b.

[muggle]

Oui, effectivement... Merci beaucoup