Exos sympas MPSI

[SH#T]

En voici un marrant :

"Soient $ p,q $ deux nombres premiers différents. Alors, $ p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \ [pq] $."

SPOILER:

$ (p\in\mathbb{P}\,\, \texit{et}\,\, q\in\mathbb{P} \,\,\textit{et} \,\, p\wedge q=1)\Rightarrow pq\mid (p^{q-1}-1 )(q^{p-1}-1 ) $ $ =pq^{\lambda}-p^{q-1}-q^{p-1}+1 $, non?

[SH#T]

Voici un exercice sympa (d'après un ami):

Soit $ f:[0,+\infty[\mapsto \mathbb{R} $ une fonction deux fois dérivable et bornée.
On suppose que $ \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}} f''(x)=0 $. Montrer que $ \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}} f'(x)=0 $

[Zetary]

C'est une application directe de la première inégalité de Kolmogorov non ? (pas celle des probas)

[Siméon]

Par exemple, mais cette inégalité est hors-programme.

Dans le même genre, on peut s'attaquer à l'exercice suivant et en déduire le résultat :

Exo sympa MPSI 232.3
Soient $ K > 0 $ et $ x \colon [0,1] \to [0,1] $ une fonction $ K $-lipschitzienne telle que $ x(0) = 0 $ et $ x(1)=1 $. Montrer que $ \int_0^1 x(t)\,dt \geq \frac{1}{2K} $.

[gchacha]

En voici un marrant :

"Soient $ p,q $ deux nombres premiers différents. Alors, $ p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \ [pq] $."

SPOILER:

$ (p\in\mathbb{P}\,\, \texit{et}\,\, q\in\mathbb{P} \,\,\textit{et} \,\, p\wedge q=1)\Rightarrow pq\mid (p^{q-1}-1 )(q^{p-1}-1 ) $ $ =pq^{\lambda}-p^{q-1}-q^{p-1}+1 $, non?

Oui c'est même plus élémentaire mais on peut aussi utiliser le thm des restes chinois (version congruence).

[Siméon]

Essaye d'utiliser le thm des restes chinois (version congruence).

Ça correspond essentiellement à la solution en une ligne de SH#T, non ?

[Zetary]

Un autre d'arithmétique que je trouve cool :

Si $ \varphi(n) $ désigne le nombre d'entiers inférieurs à n premiers avec n (indicatrice d'Euler) montrer le Théorème d'Euler :

Pour tout $ n\in \mathbb{N}^* $ et tout a premier avec n, $ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \: [n] $

Retrouver ensuite le petit théorème de Fermat

[ladmzjkf]

Voici un exercice sympa (d'après un ami):

Soit $ f:[0,+\infty[\mapsto \mathbb{R} $ une fonction deux fois dérivable et bornée.
On suppose que $ \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}} f''(x)=0 $. Montrer que $ \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}} f'(x)=0 $

J'ai juste dit que je ne l'ai pas résolu, sympa ou pas c'est une autre chose idiot.

C'est une application directe de la première inégalité de Kolmogorov non ? (pas celle des probas)

Je me rappelle avoir lu qlq part que l'inégalité de Kolmogorov met en relation les supremums de $ f,f',f'' $ (en valeur absolue), ça doit torcher l'exo je pense.
C'est que maintenant que je regrette de n'avoir pas fait de maths cet été. (j'aurais au moins eu le temps de faire qlq trucs HP à part, qui pourraient éventuellement me servir le jour J)

[ladmzjkf]

Soit $ \varphi $ l'indicatrice d'Euler.
Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}^* $ et tout a premier avec n, $ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \: [n] $

SPOILER:

Soient $ b_1,b_2...b_{\varphi(n)} $ les nombres inférieurs à $ n $, et premiers avec ce dernier.
(N.B que cela veut dire: si un nombre p est premier avec n alors le reste de la division euclidienne de p sur n est égale à l'un des nombres b_ )
$ a\wedge n=1\Rightarrow(\forall i\in\{1,..\varphi(n)\})(\exists j \in\{1,..\varphi(n)\}), ab_i=b_j $, car $ ab_i\wedge n=1 $.
On a $ i\neq j\Rightarrow ab_i\neq ab_j $ (autrement soit $ n\mid a \,\,\textit{ou}\,\, b_j= b_i $)
Donc $ \left \{ b_k | k\in [[1,\varphi(n)]] \right \}=\left \{ ab_j | j\in [[1,\varphi(n)]] \right \} $
On peut alors écrire $ b_1b_2...b_{\varphi(n)}\equiv (ab_1)(ab_2)...(ab_{\varphi(n)})\equiv a^{\varphi(n)}b_1b_2...b_{\varphi(n)} [n] $
Finalement: $ n\nmid b_1b_2...b_{\varphi(n)}\Rightarrow n\mid {a^{\varphi(n)}-1} $

Si p est premier, \varphi(p)=p-1, d'où le théo de Fermat

Bonne nuit

[gchacha]

Essaye d'utiliser le thm des restes chinois (version congruence).

Ça correspond essentiellement à la solution en une ligne de SH#T, non ?

Oui ça en revient à être équivalent