des polynômes et des endomorphismes... Ouai le titre est nul... ;)

[Samuel.A]

Je serais curieux de voir ton calcul ONeill c'est impossible ^^ en calculant rien que le premier terme de (Mat(f))*(Mat(1-X^2)) on trouve 1+(-1)*(-1)=2 qui est donc non nul alors que avec 1+X^2 ça donne bien 0 ^^ enfin si tu as compris mon dernier message de la page 1 tu comprendras pourquoi c'est 1+X^2
Mais comment ça X^3 ? Pourtant tu vois bien dans ma matrice de f que la 4eme colonne est non nulle ! Et la 4eme colonne c'est justement f(X^3) ^^
Mais est ce que vous avez fais une première année de prépa ou pas encore ? Si vous n'avez encore jamais fais d'algèbre linéaire en prépa c'est normal que vous n'y arriviez pas trop ^^

[Samuel.A]

Je me sens vraiment con :'D j'ai voulu échelonner car on nous à appris que quand on veut résoudre un système, on échelonne la matrice associée
f(X) = P car tu as marqué ça dans ton précédent message... enfin ton dernier message de la page 1, mais c'st sans doute une faute de frappe
Je n'ai pas ce théorème dans mon cours sur les polynômes... :'( mais mon bouquin de première année n'est toujours pas arrivé, je vais prendre cher à la rentrée je crois :'D

Ha ok ^^ c'est pas nécessaire
Ha oui mdr c'était 0 pardon ! Merci
Quel théorème ? Le théorème du rang ? Si tu connais pas le théorème du rang tu auras du mal a faire de l'algèbre linéaire haha Mais quelles études a tu fais cette année ? Parce que si tu n'as pas commencé le programme de première année t'es très courageux de t'attaquer a ça !

[Samuel.A]

bref, reste plus que la dernière question... j'y ai réfléchi, calculer Q'(1) et Q'(-1) est inutile n'est-ce pas ??
j'ai essayé de procéder par double implication de droite à gauche, c'est immédiat car Im(f) contient le polynôme nul... mais dans l'autre sens, je ne vois pas du tout Une idée ??

Haha alors moi je l'ai fais par équivalence mais la double implication marche évidement ! Par contre tu as mal compris la question je crois Pour montrer le sens de droite a gauche il faut vérifier que tout polynôme dont la dérivée s'annule en 1 et (-1) admet un antécédent par F (ou s'écrit comme combinaison linéaire des (f(X^k))pour k supérieur ou égal a 3 et k=0)
Mais je crois que montrer par équivalence est plus simple, je t'en dirai plus demain si tu veux si tu ne trouves pas mais avant de faire cette question fais correctement toutes celles d'avant tu comprendras mieux ^^

[ONeill]

Ok pour moi c'est bon je comprend ce que tu avais écrit et ça paraît logique en effet

[Lucas Variant]

:'D nan le théorème du rang je le connais, je parlais du théorème sur les polynômes de degré 2 à 2 distincts qui forment une famille libre
Bon, la seule équivalence que je vois, c'est que $ Q \in Im(f) \Leftrightarrow Q = \sum \limits_{\underset{k \neq 1, 2}{i=0}}^n a_k\cdot f(X^k) $ mais après je vois pas quelle autre équivalence faire,donc je dérive, et... comment j'évalue cette chose en 1 et (-1) ???? l'idéal serait que sa appartienne à ker(f) mais c'est pas le cas ici :/

[jmctiti]

Bonjour

Il ne faut pas oublier la définition de $ f $ quand-même. Si $ Q $ est dans l'image de $ f $, alors il existe $ P $ tel que~:

$ Q = \frac{X^2 - 1}{2}\cdot P'' -X\cdot P' + P $

Il n'est pas difficile de dériver ce $ Q $ pour trouver $ Q'(1)=Q'(-1)=0 $.

Bien sûr; cela ne donne qu'une inclusion, mais ensuite

SPOILER:

l'égalité des dimension obtenue par le th du rang permet de conclure.

[ONeill]

"Montrer que (f(1),f(X3),f(X3),f(X4),...,f(Xn))est base de l'image." @Lucas

C'est normal qu'il y est 2fois f(X^3) ??

[Lucas Variant]

Oh, je me rend compte que je m'était trompé dans mes calculs de Q'(1) et Q'(-1), ils sont bien égal à 0 contrairement à ce que je pensai dans mon premier post... mais du coup, je ne comprend pas ta remarque par rapport au théorème du rang @jmctiti... Que viens-t'il faire ici ?? ce qui a été fait ne se suffit-il pas à lui même ??

@ONeill non, c'est une erreur, je vais corriger ça de suite

[jmctiti]

Quand tu as prouvé que 《si Q est dans l'image, alors Q'(1)=Q'(-1)=0 》
tu as juste l'inclusion de Im f dans le SEV des polynômes vérifiant Q'(1)=Q'(-1)=0.

Il suffit alors de prouver que les deux SEV ont même dimension pour prouver qu'il sont égaux.
》La dimension de l'image est donnée par le th du rang.
》Il reste à vérifier qu'elle est égale à celle du SEV des polynômes vérifiant Q'(1)=Q'(-1)=0

P.S. Attention à l'orthographe, c'est important pour les concours, et aussi pour la suite.

[ONeill]

@ONeill non, c'est une erreur, je vais corriger ça de suite

Oui c'est logique car on a f(X) et f(X^2) qui sont nuls dans la matrices donc ils n'y a rien dans im(f) selon ces coordonnées puis ensuite tous les f(X^k) sont non nuls et échelonnés donc forment une base.