Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Zetary]

Je ne comprends pas ton "cela implique", pourrais tu le détailler un peu plus ?

[Wazzi]

@Ali-H : Non je pensais à Kuystre ^^ Mais en fait si c'est joli (pardon Kuystre)

[Wazzi]

@Ali-H: par contre, il me semble que tu as considéré que l'on pipait les deux dés exactement de la même manière… Ce qui n'est pas forcément vrai !

[pasteak]

@Zetary Voilà l'idée que j'avais, je ne sais pas si c'est correct ou bien rédigé :

SPOILER:

De l'inégalité sur $u_n$ x $v_n$ on tire $ \frac{1-A}{v_n}\leq u_n\leq\frac{1}{v_n} $ ( car $ u_n \times v_n \leq 1 $ )
En faisant tendre A vers 0 on trouve par le théorème des gendarmes $ u_n=\frac{1}{v_n} $ donc comme démontré avec a et b, $u_n$ et $v_n$ valent 1.

[Nabuco]

@Zetary Voilà l'idée que j'avais, je ne sais pas si c'est correct ou bien rédigé :

SPOILER:

De l'inégalité sur $u_n$ x $v_n$ on tire $ \frac{1-A}{v_n}\leq u_n\leq\frac{1}{v_n} $ ( car $ u_n \times v_n \leq 1 $ )
En faisant tendre A vers 0 on trouve par le théorème des gendarmes $ u_n=\frac{1}{v_n} $ donc comme démontré avec a et b, $u_n$ et $v_n$ valent 1.

La rédaction est à retravailler, en effet tu ne peux pas faire tendre A vers 0 comme tu le fais car à A fixé l inégalité est vraie à partir d un rang dépendant de A, et le théorème des gendarmes ne s applique pas dans ton cas

[Wazzi]

Une autre solution pour l'exo 13 (mais un peu HP).

SPOILER:

Théorème : Si $z$ est une racine complexe de $P$, alors le conjugué de $z$ (appelons conj($z$)) en est une également.
En effet, on peut se convaincre que $P(conj(z)=conj(P(z)),$ pour tout polynôme $P$ à coefficients réels.
Dès lors, puisque notre polynôme a un nombre impair de racines d'après le théorème fondamental de l'algèbre, elles ne peuvent être regroupées en paires de conjuguées, et par suite une au moins est réelle.

[matmeca_mcf1]

Merci, je vais regarder. La preuve pour l'unicité est-elle bonne ?

Vous avez montré que si on peut démarrer du jeton k (autre que 1), on ne peut pas démarrer du jeton 1. Il ne reste pas grand chose à faire pour montrer que si on peut démarrer du jeton k on ne peut démarrer d'aucun autre jeton. Donc, je pense que vous avez compris et l'idée y est mais la rédaction n'est pas là.

[Errys]

Merci, je vais regarder. La preuve pour l'unicité est-elle bonne ?

Vous avez montré que si on peut démarrer du jeton k (autre que 1), on ne peut pas démarrer du jeton 1. Il ne reste pas grand chose à faire pour montrer que si on peut démarrer du jeton k on ne peut démarrer d'aucun autre jeton. Donc, je pense que vous avez compris et l'idée y est mais la rédaction n'est pas là.

Il me semble avoir supposé que le jeton 1 respectait les conditions (quitte à changer la numérotation) puis montré que tous les autres ne respectaient pas les conditions, par l'absurde.

[Preparca]

Une autre solution pour l'exo 13 (mais un peu HP).

SPOILER:

Théorème : Si $z$ est une racine complexe de $P$, alors le conjugué de $z$ (appelons conj($z$)) en est une également.
En effet, on peut se convaincre que $P(conj(z)=conj(P(z)),$ pour tout polynôme $P$ à coefficients réels.
Dès lors, puisque notre polynôme a un nombre impair de racines d'après le théorème fondamental de l'algèbre, elles ne peuvent être regroupées en paires de conjuguées, et par suite une au moins est réelle.

J'aime beaucoup mais malheureusement le théorème fondamental de l'algèbre n'est pas appris en Terminale.

[Zetary]

D'autant plus qu'il manque un argument pour traiter le cas des racines multiples...